Математическая статистика и планирование эксперимента. Рыков В.В - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§ 19 Метод наименьших квадратов
Поскольку ОНК являются решением тех же самых нор-
мальных уравнений (19.4), что и ОМП в предположении о нор-
мальности распределений ошибок наблюдения, они, естестен-
но, имеют тот же вид (19.4),
b =
ˆ
~
β = (X
0
X)
−1
X
0
y.
19.4 Свойства оценок наименьших квадратов
Поскольку ОНК зависят от выборки, они являются случай-
ными величинами. Найдем их математическое ожидание:
Mb = M(X
0
X)
−1
X
0
Y = M(X
0
X)
−1
X
0
(X
~
β + ~ε) =
~
β.
т.е. ОНК – несмещенные.
Теперь найдем ковариационную матрицу оценок:
C
b
= M(b −
~
β)(b −
~
β)
0
=
= M([(X
0
X)
−1
X
0
Y −
~
β][((X
0
X)
−1
X
0
Y −
~
β]
0
=
= M([(X
0
X)
−1
X
0
(X
~
β + ~ε) −
~
β][((X
0
X)
−1
X
0
(X
~
β + ~ε) −
~
β]
0
=
= M[(X
0
X)
−1
X
0
~ε][((X
0
X)
−1
X
0
~ε]
0
=
= M[(X
0
X)
−1
X
0
~ε~ε
0
(X
0
X)
−10
] =
= (X
0
X)
−1
X
0
σ
2
IX(X
0
X)
−10
= σ
2
(X
0
X)
−10
= σ
2
(X
0
X)
−1
.
Таким образом, ошибка оценки зависит от выбора матрицы
наблюдений X, что используется в дальнейшем при планиро-
вании экспериментов.
Как следует из (19.5), ОНК являются линейными относи-
тельно наблюдений y. При этом они обладают важным свой-
ством оптимальности. Именно, справедлива
188

Страницы