Математическая статистика и планирование эксперимента. Рыков В.В - 207 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГУНиГ им. Губкина | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Глава 5. Планирование эксперимента
принимает вид
S
2
ост.
= (Y −
ˆ
Y)
0
(Y −
ˆ
Y) =
= Y
0
Y − Y
0
Xb − b
0
X
0
Y + b
0
X
0
Xb =
= Y
0
Y − Y
0
X(X
0
X)
−1
X
0
Y − Y
0
(X
0
X)
−1
X
0
Y +
+ YX(X
0
X)
−10
X
0
X(X
0
X)
−1
X
0
Y =
= Y
0
Y − Y
0
X(X
0
X)
−1
X
0
Y.
Откуда путем несложных преобразований найдем
S
2
ост.
= (Y − X
~
β + X
~
β)
0
(Y − X
~
β + X
~
β) −
− (Y − X
~
β + X
~
β)
0
X(X
0
X)
−1
X
0
(Y − X
~
β + X
~
β) =
= ~ε
0
~ε + ~ε
0
X
~
β +
~
β
0
X
0
~ε +
~
β
0
X
0
X
~
β −~ε
0
X(X
0
X)
−1
X
0
X~ε −
− ~ε
0
X(X
0
X)
−1
X
0
X
~
β −
~
β
0
X
0
X(X
0
X)
−1
X
0
~ε −
−
~
β
0
X
0
X(X
0
X)
−1
X
0
X
~
β = ~ε
0
~ε − ~ε
0
X(X
0
X)
−1
X
0
~ε.
Заметим, что оператор L
n
= X(X
0
X)
−1
X
0
является проекци-
онным оператором, т.е. L
2
n
= L
n
. Действительно,
L
2
n
= X(X
0
X)
−1
X
0
X(X
0
X)
−1
X
0
= X(X
0
X)
−1
X
0
= L
n
.
Таким образом, представляя вектор ~ε ∈ R
n
в виде ортогональ-
ной суммы
~ε =
~
ξ + ~η,
~
ξ ∈ L
n
R
n
, ~η ⊥ L
n
R
n
,
получим
S
2
ост.
=
~
ξ
0
~
ξ + ~η
0
~η −
~
ξ
0
~
ξ = ~η
0
~η,
где размерность вектора η равна размерности подпространства
L
n
R
n
, равной k + 1, если матрица X
0
X – невырожденная. От-
сюда следует, что
S
2
ост.
≡ σ
2
χ
2
n−k−1
.
207

Страницы