Составители:
Рубрика:
Глава 2. Точечные оценки параметров
Замечание. Указанное свойство означает также, что все на-
блюдения имеют одинаковое значение для оценки параметра,
что неверно, если область значений наблюдений с.в. зависит от
параметра. Например, в случае равномерного на [0, θ] распре-
деления решающую роль для оценки параметра θ, очевидно,
играет наибольшее наблюдение.
Точность
Пусть X ∈ N(θ, σ
2
) (т.е. X – нормально распределенная
случайная величина), причем σ известно. Тогда, замечая, что
p(x; θ) =
1
√
2πσ
exp
−(x − θ)
2
2σ
2
и
ln p(x; θ) = ln
1
√
2πσ
−
(x − θ)
2
2σ
2
,
имеем:
i(θ) = −M
∂
2
ln p(X; θ)
(∂θ)
2
= −M
µ
−
1
σ
2
¶
=
1
σ
2
,
т.е. наблюдение несет тем большую информацию о параметре,
чем меньше дисперсия распределения.
Убывание информации
Теорема 4.3. Информация, содержащаяся в какой-либо ста-
тистике всегда не больше, чем информация в выборке.
Доказательство. Действительно, пусть T = T (x
1
, . . . , x
n
) –
статистика от выборки x = (x
1
, . . . , x
n
) и g(t; θ) – плотность ее
распределения. Для п.р. выборки p(x; θ) имеем
p(x; θ) = g(t; θ) · h(x; θ|t),
51
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
