Составители:
Рубрика:
Глава 3. Интервальные оценки параметров
Однако, если удастся построить функцию от выборки
g = g(x; θ), распределение которой не зависит от θ, т.е.
P
θ
{g(x; θ) ≤ t} = F (t) при любых θ ∈ Θ,
то с помощью этого распределения можно делать так называ-
емые доверительные утверждения, а именно: выберем числа
α
1
, α
2
∈ (0,
1
2
) и найдем g
1
, g
2
так, чтобы выполнялись нера-
венства
F (g
1
) ≤ α
1
, F (g
2
) ≥ 1 − α
2
. (8.1)
Тогда полагая α
1
+ α
2
= α имеем для любого θ ∈ Θ
P
θ
{g
1
< g(x; θ) ≤ g
2
} = F (g
2
) −F (g
1
) ≥
≥ 1 − α
2
− α
1
= 1 − α, (8.2)
т.е. с вероятностью не меньшей, чем 1 − α справедливо нера-
венство
g
1
< g(x; θ) ≤ g
2
. (8.3)
Далее, если функция g (x; θ) монотонна по второму аргу-
менту, то используя обратную функцию θ = g
−1
(g, x) = t(g, x)
и решая неравенство (8.3), получим неравенство
t
1
(x) = t(g
1
, x) < θ ≤ t(g
2
, x) = t
2
(x), (8.4)
которое при всех θ ∈ Θ выполняется с вероятностью не мень-
шей, чем 1 − α.
Замечание. Здесь параметр θ не является случайной величи-
ной. Случайны (от выборки к выборке) концы интервала t
1
(x)
и t
2
(x), и утверждение (8.4) следует понимать в том смысле,
что с вероятностью не меньшей, чем 1 − α случайный интер-
вал (t
1
(x), t
2
(x)] накрывает неслучайное значение параметра θ.
Другими словами, если пронаблюдать N независимых выборок
x
1
= (x
11
, . . . , x
1n
), . . . , x
N
= (x
N1
, . . . , x
Nn
), то в среднем в
(1 − α)N случаях неизвестное значение параметра θ окажется
внутри интервала (t
1
(x), t
2
(x)], и лишь в αN случаях вне его.
79
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- …
- следующая ›
- последняя »
