Составители:
Рубрика:
Глава 3. Интервальные оценки параметров
§ 9 Интервальная оценка дисперсии нормаль-
ной с.в.
9.1 Постановка задачи
Рассмотрим задачу оценки неизвестной дисперсии σ
2
нор-
мально распределенной с.в. с известным м.о. µ. Известно
(см. § 6, упражнение 2), что достаточной для σ
2
является ста-
тистика
S
2
=
1
n
X
1≤i≤n
(x
i
− µ)
2
.
Очевидно, распределение величины S
2
зависит от неизвестного
параметра σ
2
. Чтобы построить доверительный интервал для
него, необходимо найти такую функцию от статистики S
2
и
параметра σ
2
, распределение которой не зависело бы от пара-
метра σ
2
. Рассмотрим с этой целью величину
g(S
2
, σ
2
) =
nS
2
σ
2
=
X
1≤i≤n
µ
x
i
− µ
σ
¶
2
.
Каждое из слагаемых в правой части является квадратом стан-
дартно нормально распределенной с.в.,
x
i
−µ
σ
∈ N(0, 1). Поэто-
му распределение статистики
nS
2
n
σ
2
совпадает с распределением
суммы n квадратов независимых стандартных нормальных ве-
личин. Распределение этой величины зависит лишь от числа
слагаемых n и не зависит от исходного неизвестного параметра
σ; оно называется χ
2
n
- распределением с n степенями свободы.
9.2 χ
2
n
-распределение
Определение 9.1. Случайная величина χ
2
n
имеет χ
2
n
-
распределение с n степенями свободы, если она представима в
85
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- …
- следующая ›
- последняя »
