Составители:
Рубрика:
§ 9 Интервальная оценка дисперсии нормальной с.в.
виде суммы квадратов n независимых стандартных нормально
распределенных с.в.,
χ
2
n
=
X
1≤i≤n
Z
2
i
, (9.1)
где Z
i
∈ N(0, 1) (i = 1, . . . , n) – н.о.р. с.в.
Характеристическая функция квадрата стандартной нор-
мально распределенной с.в. равна
f(t) = Me
itX
2
=
1
√
2π
∞
Z
−∞
e
itx
2
e
−
x
2
2
dx = (1 − 2it)
−
1
2
.
Откуда для х.ф. f
χ
2
n
(t) найдем
f
χ
2
n
(t) = (1 − 2it)
−
n
2
. (9.2)
Можно показать (пользуясь, например, формулой свертки
для плотностей), что п.р. χ
2
n
-распределения имеет вид (рис. 9.1)
p
χ
2
n
(x) =
(
0 x ≤ 0,
1
2
n/2
Γ(n/2)
x
n
2
−1
e
−
x
2
x > 0.
(9.3)
Это распределение является частным случаем Γ - распре-
деления, определяемого для любого α > 0 плотностью
p
Γ
(x) =
(
0 x ≤ 0,
1
Γ(α)
x
α−1
e
−x
x>0.
(9.4)
с х.ф.
f
Γ
(t) = (1 − 2it)
−α
. (9.5)
Сравнение (9.2) с (9.5) показывает, что
χ
2
n
2
имеет Γ-
распределение с параметром α =
n
2
.
86
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- …
- следующая ›
- последняя »
