Составители:
Рубрика:
Глава 3. Интервальные оценки параметров
то она уже не будет иметь желаемого χ
2
n
-распределения, так
как составляющие сумму справа слагаемые зависимы. Для то-
го, чтобы избавиться от этой зависимости, преобразуем сумму
справа следующим образом
X
1≤i≤n
µ
x
i
− ¯x
σ
¶
2
=
X
1≤i≤n
µ
x
i
− µ
σ
−
¯x − µ
σ
¶
2
=
=
X
1≤i≤n
µ
x
i
− µ
σ
¶
2
− n
µ
¯x − µ
σ
¶
2
=
=
X
1≤i≤n
Y
2
i
−
1
n
X
1≤i≤n
Y
i
2
, (9.8)
где величины Y
i
=
x
i
−µ
σ
∈ N(0, 1) стандартно нормально рас-
пределены и независимы. Подберем теперь ортогональное пре-
образование U, Z = UY , Z = (Z
1
, . . . , Z
n
)
0
, Y = (Y
1
, . . . , Y
n
)
0
такое, чтобы Z
n
=
1
√
n
(Y
i
+ ···+ Y
n
). В силу ортогональности
преобразования U
P
1≤i≤n
Y
2
i
=
P
1≤i≤n
Z
2
i
, поэтому совмест-
ное распределение величин Z
i
будет нормальным и величины
остаются независимыми (см. упражнение 4). Тогда выражение
(9.8) преобразуется к виду
g(S
2
, σ
2
) =
(n − 1)S
2
σ
2
=
X
1≤i≤n
Z
2
i
− Z
2
n
=
X
1≤i≤n−1
Z
2
i
= χ
2
n−1
,
из которого следует, что величина
(n−1)S
2
σ
2
имеет χ
2
n−1
-
распределение с n − 1 степенями свободы.
Отсюда легко получим правило построения доверительных
интервалов для неизвестной дисперсии σ
2
нормального распре-
деления при неизвестном м.о. Задаваясь коэффициентом дове-
рия 1 − α найдем
α
2
- и (1 −
α
2
)-квантили χ
2
n−1
-распределения,
91
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- …
- следующая ›
- последняя »
