Составители:
Рубрика:
Глава 3. Интервальные оценки параметров
§ 11 Интервальные оценки параметров при
больших выборках
11.1 Асимптотическая нормальность
∂ ln L
∂θ
Покажем, что при выполнении некоторых условий регуляр-
ности
∂ ln L
∂θ
имеет асимптотически нормальное распределение.
Именно, докажем теорему
Теорема 11.1 (Крамер, 1946). Пусть
(1) эксперимент состоит в ПСВ;
(2) p(x; θ) дважды дифференцируема по θ;
(3) выполняется неравенство
i(θ) = −M
θ
0
∂
2
ln p(X; θ)
(∂θ)
2
< ∞;
(4) {x : p(x; θ) 6= 0} не зависит от θ.
Тогда величина
∂ ln L(θ;x)
∂θ
асимптотически нормальна с пара-
метрами (0, n i(θ)), т.е. при n → ∞
1
p
n i(θ)
∂ ln L(θ; x)
∂θ
→ N(0, 1). (11.1)
Замечание. Напомним, что величина i(θ) называется коли-
чеством информации о параметре θ, содержащемся в одном
наблюдении (см. § 4.3).
Доказательство. В силу предположения 1 о ПСВ имеем
∂ ln L(θ; x)
∂θ
=
∂
∂θ
X
1≤i≤n
ln p(x
i
; θ) =
X
1≤i≤n
∂ ln p(x
i
; θ)
∂θ
=
X
1≤i≤n
Y
i
99
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
