Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 32 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

Координатная сетка, на которой удобно проводить дискретизацию уравне-

ний математической физики, получается в результате триангуляции Делоне [2],

которая определяется следующим образом.

Пусть две точки сетки называются соседними в смысле Дирихле тогда и

только тогда, когда многоугольники Дирихле, содержащие эти точки, имеют

общую грань ненулевой длины. Триангуляцией Делоне называется граф, обра-

зованный соединением соседних в смысле Дирихле точек отрезками прямых

линий (рис. 4), удовлетворяющий следующим условиям [2]:

1) вершины любого элемента сетки (треугольника) лежат на некоторой окруж-

ности;

2) не существует точек сетки внутри окружности, описанной около любого

элемента;

3) не существует двух элементов с общей описанной окружностью или, иными

словами, не существует более 3 точек сетки, принадлежащих одной окруж-

ности.

Рис. 4. Триангуляция Делоне (сплошные линии)

и соответствующее разбиение Дирихле (пунктирные линии)

Из сопоставления приведенных определений видно, что соответствующие

линии разбиения Дирихле и триангуляции Делоне взаимно перпендикулярны

(см. рис. 4). Иными словами, построение перпендикуляров в серединах триан-

гуляционных линий дает разбиение Дирихле [2]. Это и лежит в основе проце-

дуры дискретизации дифференциальных уравнений, которая будет описана ни-

же.

Если какое-либо из приведенных выше условий триангуляции Делоне не

выполняется, возникают нежелательные проблемы. Например, если четыре или

более точек сетки лежат на одной окружности, то они могут быть триангулиро-

ваны произвольным образом (рис. 5). В этом случае триангуляция Делоне будет

неоднозначной.