Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

41
Можно показать, что если Ах = В – верхняя (или нижняя) треугольная сис-
тема и не существует равных нулю коэффициентов главной диагонали матрицы
А
ni
a
ii
,...,2,1
0
,
=
≠
, (173)
то система имеет единственное решение [3].
Это решение может быть найдено методом прямой подстановки в случае
нижней треугольной системы или обратной подстановки в случае верхней тре-
угольной системы. Например, для верхней треугольной системы (171) n-е урав-
нение имеет лишь одну переменную x
n
, которую из него можно легко найти
следующим образом:
a
b
x
nn
n
n
=
. (174)
Используя (174), из (n - 1)-го уравнения находим
a
xab
x
nn
nnnn
n
)1)(1(
)1(1
1
−−
−−
−
−
=
. (175)
Продолжая делать подобные подстановки далее, получим решение, кото-
рое в общем виде может быть записано следующим образом:
1,2,...,2,1
,
1
−−=
∑
+=
−
=
nni
a
xab
x
ii
n
ij
jiji
i
. (176)
Аналогично метод прямой подстановки (начиная с 1-го уравнения) позво-
лит найти решения для нижней треугольной системы.
Пусть требуется решить систему (168) методом исключения Гаусса [3].
Данный метод позволяет привести систему (168) к верхней треугольной систе-
ме (171) или нижней треугольной системе (172), после чего находится решение
методом обратной подстановки.
Две системы линейных алгебраических уравнений эквивалентны, если они
имеют одинаковое множество решений [3].
Метод исключения Гаусса предполагает выполнение трех операций, пре-
образующих исходную систему в эквивалентную:
1) перестановка – произвольное изменение порядка уравнений в системе;
2) масштабирование – умножение левой и правой части любого уравнения сис-
темы на не равную нулю константу;
3) замещение – произвольное уравнение системы можно заменить почленной
суммой этого же уравнения и любого другого уравнения системы, умножен-
ного на не равную нулю константу.
Перечисленные операции выполняются до тех пор, пока полученная сис-
тема, эквивалентная исходной, не будет треугольной.
Проиллюстрируем это на следующем примере [3].
Пусть необходимо найти параболу
CxBx
A
y
2
++=
, (177)

Страницы