Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

46
4) определение погрешности k-го приближения
ε
. Например, в относительную
погрешность приближения часто находят в соответствии с выражением
),...,,max(
),...,,max(
)1()1(
2
)1(
1
)1()()1(
2
)(
2
)1(
1
)(
1
xxx
xxxxxx
k
n
kk
k
n
k
n
kkkk
−−−
−−−
=
−−−
ε
; (196)
5) если выполняется неравенство
δε
≤
, (197)
то найденное приближение к решению удовлетворяет заданной точности и
итерационный процесс завершается выводом полученного результата. В
противном случае осуществляется переход к п. 3) и выполняется новая ите-
рация.
При правильной реализации вычислительного процесса каждое после-
дующее приближение к решению должно быть точнее предыдущего. Естест-
венно, в этом случае погрешность
ε
с каждой итерацией уменьшается. Такой
итерационный процесс называют сходящимся.
Следует отметить, что в некоторых случаях итерационный процесс с каж-
дой итерацией может не приближать, а наоборот, удалять от истинного реше-
ния. При этом погрешность
ε
с каждой итерацией увеличивается, а итерацион-
ный процесс называют расходящимся. Такая ситуация возникает при невыпол-
нении определенных условий, которые называют условиями сходимости. Они
зависят от особенностей организации итерационного процесса и характера сис-
темы алгебраических уравнений и будут рассмотрены ниже.
Следует иметь ввиду, что в случае, когда знаменатель выражения (196) бу-
дет стремиться к нулю, относительная погрешность может значительно возрас-
тать при фактическом приближении к решению. Иными словами, в данном слу-
чае будет сделан неверный вывод о расходимости фактически сходящегося
итерационного процесса.
Во избежании данной проблемы используют отличные от (196) выражения
для определения погрешности приближения, например,
),...,,max(
),...,,max(
)0()0(
2
)0(
1
)1()()1(
2
)(
2
)1(
1
)(
1
xxx
xxxxxx
n
k
n
k
n
kkkk −−−
=
−−−
ε
, (198)
если начальное приближение не приводит знаменатель к нулю.
Иногда итерационный процесс можно ускорить.
Согласно итерационной формуле Якоби (195), для получения элементов
приближения x
i
(
k
)
используются все, за исключением i-го, элементы x
j
(
k
-1)
преды-
дущего приближения. Но, поскольку на момент определения x
i
(
k
)
все элементы с
индексами j < i уже определены, их можно использовать для определения x
i
(
k
)
.
При этом возникает итерационный процесс, названный итерацией Гаусса-
Зейделя [3]:
1) задание допустимой погрешности решения
δ
;

Страницы