Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

45
ных уравнений в частных производных приводит к СЛАУ, содержащим десят-
ки и сотни тысяч уравнений и более [1, 3].
Поскольку вычислительная сложность методов исключения Гаусса и LU-
разложения составляет О(n
3
) [3], решение линейных систем таких размерностей
данными методами представляет серьезную проблему, решить которую позво-
ляют итерационные методы Якоби, Гаусса-Зейделя и др.
Пусть требуется решить систему линейных уравнений (168). Перепишем
ее в следующем виде:
.
;
;
;
1)1(2211
1)1(1)1(11
22
23231212
2
11
13132121
1
a
xaxaxab
x
a
xaxaxaxab
x
a
xaxaxab
x
a
xaxaxab
x
nn
nnnnnn
n
ii
niniiiiiiii
i
nn
nn
−−
++−−
+++−
=
++++−
=
+++−
=
+++−
=
K
KK
K
K
M
M
(194)
Для решения системы (194) может быть использован следующий итераци-
онный метод, получивший название итерации Якоби:
1) задание допустимой погрешности решения
δ
. Допустимая погрешность за-
дается, как правило, в относительных единицах или процентах. Но в некото-
рых случаях удобнее задавать ее в абсолютных единицах;
2) задание начального приближения x
(0)
= [x
1
(0)
, x
2
(0)
, …, x
n
(0)
]
11
. Начальное при-
ближение к решению может быть задано произвольным образом, либо из
определенных соображений. Например, если известна окрестность решения,
то есть область в n-мерном пространстве, в которой гарантированно нахо-
дится решение, в качестве начального приближения может быть выбрана
центральная точка этой области;
3) нахождение следующего приближения к решению x
(
k
)
= [x
1
(
k
)
, x
2
(
k
)
, …, x
n
(
k
)
]
путем подстановки текущего приближения x
(
k
-1)
= [x
1
(
k
-1)
, x
2
(
k
-1)
, …, x
n
(
k
-1)
] в
правую часть системы (194)
a
xaxaxaxab
x
ii
k
nin
k
iii
k
iii
k
ii
k
i
)1()1(
1)1(
)1(
1)1(
)1(
11
)(
−−
++
−
−−
−
++++−
=
KK
, (195)
где i = 1, 2, …, n;
11
Верхний индекс в скобках указывает на номер итерации

Страницы