ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
52
Перед тем, как сформулировать критерий сходимости итераций Якоби и
Гаусса-Зейделя для систем линейных алгебраических уравнений, дадим одно
определение.
Матрица А = [a
ij
] размера n × n называется строго диагонально домини-
рующей, если выполняется условие
∑
≠
=
>
n
ij
j
ijii
aa
1
, (203)
то есть если в каждой строке матрицы модуль элемента главной диагонали
больше суммы модулей всех остальных элементов строки [3].
Критерий сходимости итераций Якоби и Гаусса-Зейделя формулируется
следующим образом.
Если А – строго диагонально доминирующая матрица, то линейная систе-
ма Ах = В имеет единственное решение х = Р и итерационные процессы Якоби
и Гаусса-Зейделя порождают последовательность векторов {х
(
k
)
}, которые схо-
дятся к Р для любого выбора вектора начального приближения х
(0)
[3].
Данный критерий является достаточным условием сходимости. Если мат-
рица коэффициентов не является строго диагонально доминирующей, итераци-
онные процессы Якоби и Гаусса-Зейделя могут быть расходящимися.
В качестве примера достаточно в системе (201) поменять местами первое и
второе уравнения. При этом матрица коэффициентов будет иметь вид
−
−
−
=
812
112
164
A
, (204)
то есть не будет строго диагонально доминирующей, поскольку для первых
двух строк условие (203) не выполняется.
Результаты, полученные для первых 15 итераций Якоби в этом случае бу-
дут иметь вид
12
Xe =
1.0e+003 *
0.0015 0.0020 0.0020 0.0003
0.0015 0.0030 0.0021 0.0005
0.0030 0.0031 0.0020 0.0007
0.0032 0.0059 0.0024 0.0014
0.0073 0.0067 0.0021 0.0021
0.0086 0.0147 0.0030 0.0040
0.0203 0.0181 0.0023 0.0059
12
Данная форма представления матрицы
Хе
означает, что 1.0е+003 (10
3
) является множителем
для каждого элемента матрицы.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- …
- следующая ›
- последняя »
