Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

59
Далее, проведя аналогичные операции, получим следующее приближение
х = р
2
, и так далее до тех пор, пока очередное приближение не будет удовлетво-
рять заданной точности, то есть будет достаточно близко к точному решению Р
(см. рис. 14).
Из приведенных графиков видно, что в данном примере в рассматриваемой
окрестности точки Р выполняется неравенство
1
)(
<
dx
xdg
, (219)
что является достаточным условием сходимости. Каждое последующее при-
ближение ближе к решению, чем предыдущее. Шаг между k-м и (k – 1)-м при-
ближениями с каждой итерацией уменьшается, что приводит к уменьшению
относительной погрешности приближения, определяемой выражением (213).
Следует отметить, что погрешность k-го приближения должна, строго го-
воря, определяться относительно точного решения Р. Но, поскольку точное ре-
шение, являясь целью вычислительного процесса, нам неизвестно, в качестве
критерия остановки итерационных процедур используют выражение (213), оп-
ределяющее погрешность k-го приближения относительно (k – 1)-го приближе-
ния. Следует помнить, что при этом истинная погрешность k-го приближения
может (но не обязательно) существенно превышать погрешность, определяе-
мую выражением (213).
В приведенном примере (см. рис. 14) модуль разности между текущим
приближением и решением Р с каждой итерацией уменьшается, а знак этой
разности остается неизменным. Такая сходимость называется монотонной [3].
На рис. 15 приведен пример нелинейного уравнения вида (217), для кото-
рого в окрестности решения Р тоже выполняется условие сходимости (219).
При этом модуль разности между текущим приближением и решением Р с каж-
дой итерацией также уменьшается, но знак этой разности с каждой последую-
щей итерацией изменяется на противоположный. Такая сходимость называется
колеблющейся [3].
Если уравнение (217), представленное в виде системы (218) таково, что в
окрестности решения Р условие сходимости (219) не выполняется,
1
)(
>
dx
xdg
, (220)
то, даже если начальное приближение х = р
0
достаточно близко к решению Р,
итерация неподвижной точки дает расходящуюся последовательность. При
этом в зависимости от знака производной dg(x)/dx в окрестности решения будет
наблюдаться монотонная расходимость (в случае dg(x)/dx > 1, рис. 16) или рас-
ходящиеся колебания (в случае dg(x)/dx < -1, рис. 17) [3].

Страницы