Методы решения задач математической физики. Рындин Е.А. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТТИ ЮФУ | Таганрог

Составители: 

Рубрика: 

67
5.1.1. Решение одномерного уравнения Пуассона
методом конечных разностей
Решим одномерное уравнение Пуассона вида
)(
2
2
xf
x
u
=
∂
∂
, (235)
где х – координата; u(x) – искомая функция; f(x) – некоторая непрерывная
функция, на отрезке [x
min
, x
max
] с граничными условиями Дирихле или Неймана
в точках x = x
min
, x = x
max
.
Зададим на отрезке [x
min
, x
max
] равномерную координатную сетку с шагом
∆х:
}
,...,2,1
|{
ni
x
i
=
=
x
. (236)
Граничные условия первого рода (Дирихле) для рассматриваемой задачи
могут быть представлены в виде
g
x
u
1
1
)(
=
; (237)
g
x
u
n
2
)(
=
, (238)
где х
1
, x
n
– координаты граничных точек области [x
min
, x
max
]; g
1
, g
2
– некоторые
константы.
Граничные условия второго рода (Неймана) для рассматриваемой задачи
могут быть представлены в виде
g
dx
du
x
1
1
=
; (239)
g
dx
du
x
n
2
=
. (240)
Проводя дискретизацию граничных условий Дирихле на равномерной ко-
ординатной сетке (236) с использованием метода конечных разностей, получим
g
u
1
1
=
; (241)
g
u
n
2
=
, (242)
где u
1
, u
n
– значения функции u(x) в точках x
1
, x
n
, соответственно.
Проводя дискретизацию граничных условий Неймана на сетке (236), полу-
чим
g
x
uu
1
12
=
∆
−
; (243)

Страницы