ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
В этом разделе мы возвращаемся к знакомому из школьной математики
понятию производной функции, ее геометрическому и механическому смыслу,
простейшим правилам нахождения производной.
1. Определение производной. Пусть функция
)(
x
f
y
=
определена в не-
которой окрестности
)(
0
xU точки Rx
∈
0
. Производной функции
f
в точке
0
x
называется число, равное
0
0
)()(
lim
0
xx
xfxf
xx
−
−
→
,
если этот предел существует. Если функция )(
x
f
в точке
0
x имеет производ-
ную, то говорят, что она
дифференцируема в этой точке. Вычисление произ-
водной функции называют ее дифференцированием.
Производная функции )(
x
f
y
= в точке
x
обозначается одним из симво-
лов:
dx
dy
dx
xdf
yxf
,
)(
,,)(
′′
.
Замечание
. Введем следующие обозначения:
xxx
Δ
=
−
0
,
yxfxxfxfxf Δ
=
−
Δ
+
=
−
)()()()(
000
.
В этих обозначениях определение производной в точке
0
x
примет вид
x
xfxxf
x
y
xf
xx
def
Δ
−
Δ
+
=
Δ
Δ
=
′
→Δ→Δ
)()(
limlim)(
00
00
0
.
Пример 1
. Найдем производную функции
2
xy = . Так как
222222
)(2)(2)( xxxxxxxxxxxy Δ+Δ=−Δ+Δ+=−Δ+=Δ
,
то
xxxx
x
xxx
x
y
xxx
202)2(lim
)(2
limlim
0
2
00
=+=Δ+=
Δ
Δ+Δ
=
Δ
Δ
→Δ→Δ→Δ
.
Следовательно,
xx 2)(
2
=
′
.
Пример 2
. Найдем производную функции
x
y
sin
=
. Имеем
2
sin
2
cos2sin)sin(
xx
xxxxy
Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+=−Δ+=Δ
.
Отсюда получим
=
Δ
Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+
=
Δ
Δ
→Δ→Δ
x
xx
x
x
y
xx
2
sin
2
cos2
limlim
00
xx
x
x
x
x
xx
cos1cos
2
2
sin
lim
2
coslim
00
=⋅=
Δ
Δ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Δ
+=
→Δ→Δ
.
3
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
В этом разделе мы возвращаемся к знакомому из школьной математики
понятию производной функции, ее геометрическому и механическому смыслу,
простейшим правилам нахождения производной.
1. Определение производной. Пусть функция y = f (x) определена в не-
которой окрестности U ( x0 ) точки x0 ∈ R . Производной функции f в точке x0
называется число, равное
f ( x ) − f ( x0 )
lim ,
x → x0 x − x0
если этот предел существует. Если функция f (x) в точке x0 имеет производ-
ную, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Вычисление произ-
водной функции называют ее дифференцированием.
Производная функции y = f ( x) в точке x обозначается одним из симво-
лов:
df ( x) dy
f ′( x) , y ′, , .
dx dx
Замечание. Введем следующие обозначения:
x − x0 = Δ x , f ( x ) − f ( x0 ) = f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) = Δ y .
В этих обозначениях определение производной в точке x0 примет вид
def
Δy f ( x0 + Δ x ) − f ( x 0 )
f ′( x0 ) = lim = lim .
Δ x→0 Δ x Δ x→0 Δx
Пример 1. Найдем производную функции y = x 2 . Так как
Δ y = ( x + Δ x) 2 − x 2 = x 2 + 2 xΔ x + (Δ x) 2 − x 2 = 2 xΔ x + (Δ x) 2 ,
то
Δy 2 x Δ x + (Δ x) 2
lim = lim = lim (2 x + Δ x) = 2 x + 0 = 2 x .
Δ x→0 Δ x Δ x→0 Δx Δ x→0
Следовательно, ( x 2 )′ = 2 x .
Пример 2. Найдем производную функции y = sin x . Имеем
⎛ Δx⎞ Δx
Δ y = sin( x + Δ x) − sin x = 2 cos⎜ x + ⎟ sin .
⎝ 2 ⎠ 2
Отсюда получим
⎛ Δx⎞ Δx
2 cos⎜ x + ⎟ sin
Δy ⎝ 2 ⎠ 2
lim = lim =
Δ x→0 Δ x Δ x→ 0 Δx
Δx
sin
⎛ Δ x ⎞ 2 = cos x ⋅ 1 = cos x .
= lim cos⎜ x + ⎟ lim
Δ x→0 ⎝ 2 ⎠ Δ x → 0 Δ x
2
