Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 4 стр.

                                                 4

Следовательно, (sin x)′ = cos x .
     2. Необходимое условие дифференцируемости.
     Теорема 23. Если функция f ( x) дифференцируема в точке x0 , то она не-
прерывна в этой точке.
Δ Для доказательства непрерывности функции f ( x) в точке x0 достаточно
показать, что
                                  lim f ( x) = f ( x0 ) ,
                                    x → x0
или, что то же самое,
                                 lim ( f ( x) − f ( x0 )) = 0 .
                                 x → x0
      Имеем
                                                    ( f ( x) − f ( x0 ))( x − x0 )
                lim ( f ( x) − f ( x0 )) = lim                                     =
                x → x0                       x → x0            x − x0
                      f ( x ) − f ( x0 )
              = lim                      ⋅ lim ( x − x0 ) = f ′( x0 ) ⋅ 0 = 0 . ▲
               x → x0      x − x0          x → x0

      Обратное к теореме 22 утверждение не верно: функция может быть не-
прерывной в данной точке, однако не быть дифференцируемой. Простым при-
мером является функция y =| x | . Она непрерывна для всех x ∈ R , однако при
x = 0 не дифференцируема (покажите это!).
      3. Геометрический и физический смысл производной.
                            Задача о касательной к кривой
      Пусть дана непрерывная функция y = f (x) , график которой представляет
собой кривую L (см. рис. 5).

                            y
                                                                            L
                      y0 + Δ y
                                                                                M1

                                                                                       T

                           y0
                                                                  α             A
                                                          M0

                            0                        x0                x0 + Δ x x
                                   Рис. 5.
     Построим касательную к кривой L в некоторой точке M 0 . Выбрав на
кривой L еще одну точку M 1 , проведем секущую M 0 M 1 . Если точку M 1 пере-
мещать по кривой L , то секущая будет вращаться вокруг точки M 0 . Касатель-
ной к кривой L в точке M 0 естественно назвать предельное положение M 0T
секущей, когда точка M 1 стремится по кривой к точке M 0 .