ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
6
2
,)(,)(
v
vuvu
v
u
vuvuuvvuvu
′
−
′
=
′
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
+
′
=
′′
+
′
=
′
+
.
Следствие
. Для любого
Rc ∈
имеет место равенство
)())(( xfcxfc
′
⋅=
′
⋅
.
Теорема 25
(производная сложной функции). Пусть дана сложная функ-
ция ))((
x
f
G
z
= , причем функция )(
x
f
y
=
дифференцируема в точке
0
x, а
функция )(
y
G – в точке
)(
00
xfy =
. Тогда функция ))((
x
f
G
z
=
дифференци-
руема в точке
0
x и имеет место равенство
)()()))(((
000
xfyGxfG
′
′
=
′
.
Пример
. Найдем производную функции )sin(
2
xy = . Эта функция являет-
ся композицией функций t
y
sin
=
и
2
x
t
=
. Поэтому по теореме 24 получим
)cos(22cos)()sin())sin((
222
xxxtxtx =⋅=
′
⋅
′
=
′
.
Теорема 26
(производная обратной функции). Пусть дана функция
)(
x
f
y
= , имеющая обратную функцию )(
y
g
x
=
, и пусть функция )(
x
f
диф-
ференцируема в точке
0
x
, причем
0)(
0
≠
′
xf
. Тогда обратная функция
)(
y
g
x
=
дифференцируема в соответствующей точке
)(
00
xfy
=
, причем имеет место
равенство
)(
1
)(
0
0
xf
yg
′
=
′
.
Пример. Найдем производную функции
x
y
arcsin
=
. Так как эта функция
является обратной к функции
22
,sin
π
π
≤≤−= yyx
, то в силу теоремы 25 по-
лучим
22
1
1
sin1
1
cos
1
)(sin
1
)(arcsin
xy
yy
x
−
=
−
==
′
=
′
.
Пусть функция
)(
x
y
y
=
задана параметрически уравнениями
)(t
x
ϕ
=
и
)(t
y
ψ
= .
Теорема 27
(производная функции, заданной параметрически). Пусть
функции )(t
x
ϕ
= и )(t
y
ψ
=
дифференцируемы при некотором
0
tt = и 0)(
0
≠
′
t
ϕ
.
Тогда функция
)(
x
y
y
=
дифференцируема в точке
)(
00
tx
ϕ
=
и имеет место
равенство
)(
)(
)(
0
0
0
t
t
xy
ϕ
ψ
′
′
=
′
.
5. Односторонние производные. В определении производной предпола-
галось, что предел
x
xfxxf
x
Δ
−
Δ
+
→Δ
)()(
lim
00
0
6
′
⎛ u ⎞ u ′v − uv′
(u + v)′ = u ′ + v′, (uv)′ = u ′v + uv′, ⎜ ⎟ = .
⎝v⎠ v2
Следствие. Для любого c ∈ R имеет место равенство (c ⋅ f ( x))′ = c ⋅ f ′( x) .
Теорема 25 (производная сложной функции). Пусть дана сложная функ-
ция z = G ( f ( x)) , причем функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , а
функция G ( y ) – в точке y0 = f ( x0 ) . Тогда функция z = G ( f ( x)) дифференци-
руема в точке x0 и имеет место равенство
( G ( f ( x0 )) )′ = G ′( y0 ) f ′( x0 ) .
Пример. Найдем производную функции y = sin( x 2 ) . Эта функция являет-
ся композицией функций y = sin t и t = x 2 . Поэтому по теореме 24 получим
( sin( x 2 ) )′ = ( sin t )′ ⋅ ( x 2 )′ = cos t ⋅ 2 x = 2 x cos( x 2 ) .
Теорема 26 (производная обратной функции). Пусть дана функция
y = f ( x) , имеющая обратную функцию x = g ( y ) , и пусть функция f ( x) диф-
ференцируема в точке x0 , причем f ′( x0 ) ≠ 0 . Тогда обратная функция x = g ( y )
дифференцируема в соответствующей точке y0 = f ( x0 ) , причем имеет место
равенство
1
g ′( y0 ) = .
f ′( x0 )
Пример. Найдем производную функции y = arcsin x . Так как эта функция
π π
является обратной к функции x = sin y, − ≤ y≤ , то в силу теоремы 25 по-
2 2
лучим
1 1 1 1
(arcsin x)′ = = = = .
(sin y )′ cos y 1 − sin 2 y 1 − x2
Пусть функция y = y (x) задана параметрически уравнениями x = ϕ (t ) и
y = ψ (t ) .
Теорема 27 (производная функции, заданной параметрически). Пусть
функции x = ϕ (t ) и y = ψ (t ) дифференцируемы при некотором t = t 0 и ϕ ′(t 0 ) ≠ 0 .
Тогда функция y = y (x) дифференцируема в точке x0 = ϕ (t 0 ) и имеет место
равенство
ψ ′(t 0 )
y ′( x0 ) = .
ϕ ′(t0 )
5. Односторонние производные. В определении производной предпола-
галось, что предел
f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 )
lim
Δ x→0 Δx
