Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 7 стр.

                                              7

не зависит от знака приращения Δ x при стремлении Δ x к нулю. Если же в ука-
занном определении потребовать, чтобы Δ x было только одного знака, то при-
дем к понятию односторонней производной.
          Определение. Правой производной функции f (x) в точке x0 называется
предел
                                                 f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 )
                          f ′( x0 + 0) = lim                               ,
                                        Δ x → +0           Δx
если он существует. Аналогично определяется левая производная f ′( x0 − 0) .
Правая и левая производные называются ее односторонними производными.
          Ясно, что если функция f (x) имеет в точке x0 обычную производную, то
она имеет и обе односторонние производные и все они совпадают. В то же вре-
мя функция может иметь односторонние производные и не иметь производной
 f ′( x0 ) . Например, ранее упомянутая функция f ( x ) =| x | в точке x = 0 имеет
односторонние производные

  ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ И ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
      1. Дифференциал функции. Важное значение в теории дифференцируе-
мых функций имеет
      Теорема 28. Пусть функция y = f (x) имеет производную f ′( x0 ) . Тогда
справедливо равенство
                    Δ y = f ( x0 + Δ x) − f ( x0 ) = f ′( x0 )Δ x + ε (Δ x) , (4)
где функция ε (Δ x) = o(Δ x) при Δ x → 0 .
Δ  Функцию ε (Δ x) определим формулой ε (Δ x) = Δ y − f ′( x0 )Δ x ; тогда равен-
                                                              ε (Δ x)
ство (4) очевидно. Остается проверить, что l = lim                       = 0 . Имеем
                                                        Δ x→0 Δ x

                  Δ y − f ′( x0 )Δ x        Δy
        l = lim                      = lim      − f ′( x0 ) = f ′( x0 ) − f ′( x0 ) = 0 . ▲
            Δ x→0       Δx            Δ x→0 Δ x

      Если обозначить A = f ′( x0 ) , то равенство (4) примет вид
                               Δ y = AΔ x + o(Δ x) при Δ x → 0 .                            (5)
      Допустим теперь, что нам неизвестно, имеет ли функция f (x) производ-
ную f ′( x0 ) , однако известно, что ее приращение Δ y представимо в виде (5),
где A – некоторое число. Тогда при A ≠ 0 приращение Δ y эквивалентно функ-
ции AΔ x : Δ y ~ AΔ x при Δ x → 0 . Выражение AΔ x в указанном случае пред-
ставляет собой главную часть приращения Δ y , при этом AΔ x линейно (точнее
пропорционально) зависит от Δ x .
      Определение. Если имеет место равенство (5), где A – некоторое число,
то функцию y = f (x) называют дифференцируемой в точке x0 , а главную ли-
нейную часть ее приращения называют дифференциалом функции в точке x0 и
обозначают в виде