Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 8 стр.

                                            8

                                    dy = A Δ x .
          Подчеркнем, что дифференциал – это линейная функция от Δ x , беско-
нечно малая при Δ x → 0 .
          Можно заметить, что понятие дифференцируемости функции в точке уже
определялось ранее как существование производной в данной точке. Наличие
двух разных определений одного и того же понятия оправдывает
          Теорема 29. Для того чтобы функция y = f (x) имела производную
 f ′( x0 ) , необходимо и достаточно, чтобы эта функция была дифференцируе-
мой в точке x0 .
Δ Необходимость следует из теоремы 27. Докажем достаточность. Пусть вы-
полнено равенство (5) при некотором A . Тогда
                         Δy         AΔ x + o ( Δ x )
                    lim      = lim                   = A + 0 = A,
                   Δ x→0 Δ x  Δ x→0      Δx
т.е. функция y = f (x) имеет производную f ′( x0 ) = A . ▲
       Таким образом, если функция y = f (x) дифференцируема в точке x0 , то
она имеет производную f ′( x0 ) и при этом дифференциал dy = A Δ x может
быть записан в виде dy = f ′( x0 ) Δ x . В частности, дифференциал функции y = x
равен dx = 1 ⋅ Δ x = Δ x . Поэтому обычно пишут dy = f ′( x0 ) dx . Эта формула объ-
                                                       dy
ясняет смысл одного из обозначений производной            .
                                                       dx
       2. Геометрический смысл дифференциала. На рис. 6 изображен график
некоторой дифференцируемой функции y = f (x) в окрестности точки x0 . Точ-
ки B и D на графике функции имеют соответственно координаты ( x0 , f ( x0 )) и
( x0 + Δ x, f ( x0 + Δ x)) .

                 y
                                                        y = f (x )


                                                         D
                                                             E

                                     B
                                                             F
                                     A                   C
                 0                    x0               x0 + Δ x      x
                                        Рис. 6.
     Выражения Δ x, f ( x0 ), f ( x0 + Δ x), Δ y = f ( x0 + Δ x) − f ( x0 ) геометрически
означают длины следующих отрезков: AC , AB, DC , DF . Треугольник BEF ог-
раничен горизонтальной линией BF , вертикальной линией EF и касательной