Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 5 стр.

                                       5

     Найдем угловой коэффициент касательной M 0T , т.е. число k = tg α , где
α – угол между касательной M 0T и положительным направлением оси Ox . Из
прямоугольного треугольника Δ M 0 AM 1 имеем
                                          AM 1 Δ y
                         tg ∠ M 1M 0 A =        =        .
                                          AM 0 Δ x
Для получения углового коэффициента k перейдем к пределу при Δ x → 0 :
                                          Δy
                         k = tg α = lim       = f ′( x0 ) .
                                   Δ x→ 0 Δ x

Следовательно, производная функции с геометрической точки зрения равна уг-
ловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке.
                       Задача о вычислении скорости
     Рассмотрим прямолинейное движение материальной точки, положение
которой определяется расстоянием S , отсчитываемым от некоторой начальной
точки O (рис. 6).
                       O                      M             M1
                         14 4
                            42444
                                314243
                                   S               ΔS
                                        Рис. 6.
       Пусть движение точки описывается функцией S (t ) , которая при каждом
значении времени t определяет пройденное точкой расстояние S = S (t ) . Тре-
буется определить скорость v точки в момент времени t .
       Пусть в момент времени t точка занимает положение M . Для определе-
ния скорости v придадим t приращение Δ t . Тогда пройденный точкой путь
получит приращение Δ S = S (t + Δ t ) − S (t ) , и точка займет новое положение
                    ΔS
M 1 . Отношение         равно средней скорости движения точки за промежуток
                    Δt
Δ t . Скорость точки в момент времени t , очевидно, определится предельным
переходом
                                           ΔS
                              v(t ) = lim       = S ′(t ) .
                                     Δt →0 Δ t

Таким образом, производная функции с физической точки зрения равна скоро-
сти движения точки в данный момент времени.
       4. Правила дифференцирования. Сформулируем без доказательства не-
сколько теорем.
       Теорема 24 (простейшие правила). Если функции u ( x) и v( x) дифферен-
цируемы в точке x , то их сумма, произведение и частное (последнее при усло-
вии, что v( x) ≠ 0 ) также дифференцируемы в этой точке и имеют место ра-
венства