ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9
B
E
к графику функции в точке
B
. В силу геометрического смысла производ-
ной имеем:
FBEtgxf
∠
=
′
)(
0
; но тогда
dyxxf
=
Δ
′
)(
0
есть длина отрезка E
F
.
Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал равен прираще-
нию ординаты касательной от точки
0
x
до точки
xx
Δ
+
0
.
Заметим, что разделение приращения функции
y
Δ
на две части:
=Δ
y
)()(
0
xoxxf
Δ
+
Δ
′
соответствует разделению отрезка
DF
:
ED
FE
DF
+=
.
Длина отрезка
E
F
, как уже отмечалось, равна значению дифференциала, а
длина отрезка ED – бесконечно малая более высокого порядка, чем
x
Δ . Дейст-
вительно, из рисунка видно, что доля
ED в отрезке
DF
стремится к нулю при
0→Δ
x
.
3. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. В равен-
стве (4) функция
)(
x
Δ
ε
является б.м.ф. более высокого порядка, чем
x
Δ
, сле-
довательно, имеет смысл говорить о приближенных равенствах (при малых
||
x
Δ ):
xxfxfxxf
Δ
′
+
≈
Δ+ )()()(
000
,
или
))(()()(
000
xxxfxfxf
−
′
+
≈
. (6)
Формула (6) важна в задачах, когда известны значения функции
)(
x
f
и ее про-
изводной )(xf
′
в точке
0
x и требуется вычислить значение функции )(
x
f
в не-
которой близкой к
0
x точке
x
.
Пример 1
. Вычислить приближенно значение
o
32sin
. Воспользуемся
формулой (6). Для этого определим функцию
x
x
f
sin)(
=
и положим
o
32=
x
,
o
30
0
=x
или в радианах
180
32
π
=x и
6
0
π
=x .
Тогда, учитывая, что
xx cos)(sin
=
′
, получим
)(cossinsin
000
xxxxx −⋅
+
≈
, или
.53,003,05,0
90
14,373,1
5,0
902
3
2
1
6180
32
6
cos
6
sin32sin =+≈
⋅
+≈⋅+=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⋅+≈
πππππ
o
Для сравнения: имеет место равенство
5299,032sin =
o
с четырьмя верными
знаками.
Пример 2
. Вычислить приближенно
89,24
. Рассмотрим функцию
xxf =)(
и выберем
25
0
=x
, 89,24=
x
. Найдем:
1,0
252
1
)(,525)(,
2
1
)(
00
==
′
===
′
xfxf
x
xf
.
Тогда
989,4011,05)11,0(1,0589,24)89,24( =−=−⋅+≈=f
. Для сравнения:
приближенно
988987873,489,24 = с точностью до 9-го знака после запятой.
9
BE к графику функции в точке B . В силу геометрического смысла производ-
ной имеем: f ′( x0 ) = tg ∠ FBE ; но тогда f ′( x0 )Δ x = dy есть длина отрезка EF .
Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал равен прираще-
нию ординаты касательной от точки x0 до точки x0 + Δ x .
Заметим, что разделение приращения функции Δ y на две части:
Δ y = f ′( x0 )Δ x + o(Δ x) соответствует разделению отрезка DF : DF = FE + ED .
Длина отрезка EF , как уже отмечалось, равна значению дифференциала, а
длина отрезка ED – бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ x . Дейст-
вительно, из рисунка видно, что доля ED в отрезке DF стремится к нулю при
Δ x→0 .
3. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. В равен-
стве (4) функция ε (Δ x) является б.м.ф. более высокого порядка, чем Δ x , сле-
довательно, имеет смысл говорить о приближенных равенствах (при малых
| Δ x | ):
f ( x0 + Δ x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )Δ x ,
или
f ( x) ≈ f ( x0 ) + f ′( x0 )( x − x0 ) . (6)
Формула (6) важна в задачах, когда известны значения функции f (x) и ее про-
изводной f ′(x) в точке x0 и требуется вычислить значение функции f (x) в не-
которой близкой к x0 точке x .
Пример 1. Вычислить приближенно значение sin 32o . Воспользуемся
формулой (6). Для этого определим функцию f ( x) = sin x и положим x = 32 o ,
x0 = 30 o или в радианах
32π π
x= и x0 = .
180 6
Тогда, учитывая, что (sin x)′ = cos x , получим sin x ≈ sin x0 + cos x0 ⋅ ( x − x0 ) , или
π π ⎛ 32π
π⎞ 1 3 π 1,73 ⋅ 3,14
sin 32o ≈ sin + cos
⋅⎜ − ⎟= + ⋅ ≈ 0,5 + ≈ 0,5 + 0,03 = 0,53.
6 6 ⎝ 180 6 ⎠ 2 2 90 90
Для сравнения: имеет место равенство sin 32 o = 0,5299 с четырьмя верными
знаками.
Пример 2. Вычислить приближенно 24,89 . Рассмотрим функцию
f ( x) = x и выберем x0 = 25 , x = 24,89 . Найдем:
1 1
f ′( x) = , f ( x0 ) = 25 = 5, f ′( x0 ) = = 0,1 .
2 x 2 25
Тогда f (24,89) = 24,89 ≈ 5 + 0,1 ⋅ (−0,11) = 5 − 0,011 = 4,989 . Для сравнения:
приближенно 24,89 = 4,988987873 с точностью до 9-го знака после запятой.
