ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание
производной заданной функции. Здесь рассматривается обратная задача: вос-
становить функцию по известной производной. Указанная задача является ос-
новной для интегрального исчисления.
1. Первообразная. Символом
D
будет обозначаться промежуток на чи-
словой оси
R , т.е.
D
– это множество вида ],[ ba ,
),[ ba
,
],( ba
или
),( ba
, при-
чем промежуток может быть и бесконечным.
Определение. Функция )(
x
F называется первообразной для функции
)(
x
f
на промежутке
D
, если для
D
x
∈
∀ выполнено равенство
)()( xfxF =
′
.
Например, для функции
x
cos первообразной на всей числовой оси слу-
жит функция
x
sin
, т.к.
xx cos)(sin =
′
. Отметим, что для функции
x
cos
перво-
образной будет и любая функция вида
C
x
x
F
+
=
sin)(
, где
C
– произвольная
постоянная. Этот факт носит общий характер. А именно, верна очевидная
Теорема 1
. Если )(
x
F – первообразная для )(
x
f
, то функция C
x
F +)(
при любом значении постоянной C также является первообразной для )(
x
f
.
Таким образом, если функция
)(
x
f
имеет первообразную
)(
x
F
, то она
имеет семейство первообразных вида
C
x
F
+
)(
. Оказывается, кроме функций
из этого семейства, других первообразных функция
)(
x
f
иметь не может. Для
установления этого важного факта понадобится
Лемма 1
. Если 0)(
=
′
xf на промежутке
D
, то
C
f
≡
, где
C
– некоторая
постоянная.
Δ
Лемма будет доказана, если показать, что для Dxx
∈
∀
21
, выполнено равен-
ство )()(
21
xfxf = . Пусть Dxx ∈
21
,,
21
xx
<
. По теореме Лагранжа ),(
21
xxc ∈∃
такое, что
))(()()(
1212
xxcfxfxf
−
′
=
−
. Но так как
0)(
=
′
xf
для
D
x
∈∀
, то
0)( =
′
cf
; следовательно,
)()(
21
xfxf =
.
▲
Теорема 2
. Если
)(
x
F
– первообразная для
)(
x
f
, то любая другая ее пер-
вообразная представляется в виде
C
x
F
+
)(
при некотором значении постоян-
ной
C
.
Δ
Пусть
)(
x
F
и
)(
x
Φ
– две первообразные для
)(
x
f
. Теорема будет до-
казана, если показать, что при некотором постоянном
C
выполнено тождество
C
x
F
x
+=Φ )()(. Положим )()()(
x
F
x
x
g
−
Φ= . Имеем
DxxfxfxFxxg
∈
∀
=
−
=
′
−
Φ
′
=
′
0)()()()()(.
Тогда в силу леммы 1
C
g
≡ , т.е.
C
x
F
x
+
=
Φ )()(. ▲
2. Понятие неопределенного интеграла. Пусть )(
x
F
– некоторая перво-
образная для функции
)(
x
f
. Тогда в силу теоремы 2 множество всех ее перво-
образных – это семейство функций вида
C
x
F
+
)(
. Это семейство функций на-
3
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание
производной заданной функции. Здесь рассматривается обратная задача: вос-
становить функцию по известной производной. Указанная задача является ос-
новной для интегрального исчисления.
1. Первообразная. Символом D будет обозначаться промежуток на чи-
словой оси R , т.е. D – это множество вида [ a, b] , [a, b) , (a, b] или (a, b) , при-
чем промежуток может быть и бесконечным.
Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции
f ( x) на промежутке D , если для ∀ x ∈ D выполнено равенство F ′( x) = f ( x) .
Например, для функции cos x первообразной на всей числовой оси слу-
жит функция sin x , т.к. (sin x)′ = cos x . Отметим, что для функции cos x перво-
образной будет и любая функция вида F ( x) = sin x + C , где C – произвольная
постоянная. Этот факт носит общий характер. А именно, верна очевидная
Теорема 1. Если F (x) – первообразная для f (x) , то функция F ( x) + C
при любом значении постоянной C также является первообразной для f (x) .
Таким образом, если функция f (x) имеет первообразную F (x) , то она
имеет семейство первообразных вида F ( x) + C . Оказывается, кроме функций
из этого семейства, других первообразных функция f (x) иметь не может. Для
установления этого важного факта понадобится
Лемма 1. Если f ′( x) = 0 на промежутке D , то f ≡ C , где C – некоторая
постоянная.
Δ Лемма будет доказана, если показать, что для ∀ x1 , x2 ∈ D выполнено равен-
ство f ( x1 ) = f ( x2 ) . Пусть x1 , x2 ∈ D , x1 < x2 . По теореме Лагранжа ∃ c ∈ ( x1 , x2 )
такое, что f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ′(c)( x2 − x1 ) . Но так как f ′( x) = 0 для ∀ x ∈ D , то
f ′(c) = 0 ; следовательно, f ( x1 ) = f ( x2 ) . ▲
Теорема 2. Если F (x) – первообразная для f (x) , то любая другая ее пер-
вообразная представляется в виде F ( x) + C при некотором значении постоян-
ной C .
Δ Пусть F (x) и Φ(x) – две первообразные для f (x) . Теорема будет до-
казана, если показать, что при некотором постоянном C выполнено тождество
Φ ( x) = F ( x) + C . Положим g ( x) = Φ ( x) − F ( x) . Имеем
g ′( x) = Φ′( x) − F ′( x) = f ( x) − f ( x) = 0 ∀ x∈D.
Тогда в силу леммы 1 g ≡ C , т.е. Φ ( x) = F ( x) + C . ▲
2. Понятие неопределенного интеграла. Пусть F (x) – некоторая перво-
образная для функции f (x) . Тогда в силу теоремы 2 множество всех ее перво-
образных – это семейство функций вида F ( x) + C . Это семейство функций на-
