Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

4
зывают неопределенным интегралом (от) функции )(
x
f
и обозначают симво-
лом
∫
dxxf )(, т.е.
∫
+= CxFdxxf
def
)()(,
где C – произвольная постоянная, а )()( xfxF
=
′
. (Коротко: неопределенный
интеграл от функции
)(
x
f
– это множество всех ее первообразных). При этом
произведение dx
x
f
)( называют подынтегральным выражением, функцию
)(
x
f
– подынтегральной функцией, а переменную
x
– переменной интегриро-
вания.
Заметим, что из равенства )()( xfxF
=
′
следует, что выражение dx
x
f
)(
под знаком интеграла представляет собой дифференциал первообразной:
dx
x
f
x
Fd )()(
=
.
Пример
. Пусть
3
)( xxf = . Ее неопределенный интеграл равен
∫
+= C
x
dxx
4
4
3
.
Ответ проверяется просто: достаточно найти производную функции
C
x
+
4
4
.
Закономерен вопрос: какие функции интегрируемы? В дальнейшем будет
установлено: если )()(
D
C
x
f
∈ (т.е. функция )(
x
f
непрерывна на
D
), то она
имеет неопределенный интеграл. Пока же будет предполагаться, что сущест-
вуют все рассматриваемые неопределенные интегралы.
3. Свойства неопределенных интегралов.
Теорема 3
. Имеют место равенства
∫∫
+== CxFxFddxxfdxxfd )()(,)()(
, (1)
()
∫∫∫
±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
, (2)
∫∫
≠== )0,()()( kconstkdxxfkdxxfk . (3)
Δ
Равенства (1) непосредственно следуют из определения. Равенства (2) и (3)
устанавливаются однотипными рассуждениями, поэтому ограничимся доказа-
тельством равенства (3). Пусть )(
x
F – первообразная для )(
x
f
, тогда )(
x
kF –
первообразная для
)(
x
f
k
. Следовательно,
∫∫
=+=+= dxxfkkCxkFCxFkdxxfk )()())(()(
.
Здесь использован тот факт, что если
0
k
, то выражение
kC
так же, как и са-
мо
C
, означает произвольную постоянную. ▲
Из приведенных в теореме 3 свойств неопределенных интегралов особо
отметим равенства (1), означающие, что знаки
d
и
∫
,
стоящие рядом, взаимно
уничтожаются. Это легко объяснимо, если вспомнить, что дифференцирование
и интегрирование – взаимно обратные операции. 
                                                                                 4

зывают неопределенным интегралом (от) функции f (x) и обозначают симво-
лом ∫ f ( x) dx , т.е.
                                                 def
                             ∫ f ( x) dx = F ( x) + C ,
где C – произвольная постоянная, а F ′( x) = f ( x) . (Коротко: неопределенный
интеграл от функции f (x) – это множество всех ее первообразных). При этом
произведение f ( x) dx называют подынтегральным выражением, функцию
 f (x) – подынтегральной функцией, а переменную x – переменной интегриро-
вания.
       Заметим, что из равенства F ′( x) = f ( x) следует, что выражение f ( x) dx
под знаком интеграла представляет собой дифференциал первообразной:
                               d F ( x) = f ( x) dx .
       Пример. Пусть f ( x) = x 3 . Ее неопределенный интеграл равен
                                                       x4
                                         ∫ x dx =
                                            3
                                                          +C.
                                                       4
                                                                     x4
Ответ проверяется просто: достаточно найти производную функции          +C.
                                                                     4
        Закономерен вопрос: какие функции интегрируемы? В дальнейшем будет
установлено: если f ( x) ∈ C ( D ) (т.е. функция f (x) непрерывна на D ), то она
имеет неопределенный интеграл. Пока же будет предполагаться, что сущест-
вуют все рассматриваемые неопределенные интегралы.
        3. Свойства неопределенных интегралов.
        Теорема 3. Имеют место равенства
d ∫ f ( x) dx = f ( x)dx , ∫ d F ( x) = F ( x) + C ,                          (1)
∫ ( f ( x) ± g ( x) ) dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx ,                         (2)
∫ k f ( x) dx = k ∫ f ( x) dx        (k = const , k ≠ 0) .                    (3)
Δ  Равенства (1) непосредственно следуют из определения. Равенства (2) и (3)
устанавливаются однотипными рассуждениями, поэтому ограничимся доказа-
тельством равенства (3). Пусть F (x) – первообразная для f (x) , тогда kF (x) –
первообразная для k f (x) . Следовательно,
                k ∫ f ( x) dx = k ( F ( x) + C ) = kF ( x) + kC = ∫ k f ( x) dx .
Здесь использован тот факт, что если k ≠ 0 , то выражение kC так же, как и са-
мо C , означает произвольную постоянную. ▲
      Из приведенных в теореме 3 свойств неопределенных интегралов особо
отметим равенства (1), означающие, что знаки d и ∫ , стоящие рядом, взаимно
уничтожаются. Это легко объяснимо, если вспомнить, что дифференцирование
и интегрирование – взаимно обратные операции.

Страницы