Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 6 стр.

                                                                                       6

Это равенство означает, что при x = ϕ (t ) интеграл ∫ f ( x) dx есть в то же время и
неопределенный интеграл от функции f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) , т.е.
                              ∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt . ▲
      Формула (4) обычно применяется в тех случаях, когда непосредственное
вычисление интеграла ∫ f ( x) dx затруднительно, однако подстановкой x = ϕ (t )
можно перейти к интегралу, более удобному для исследования.
      Одним из вариантов метода замены переменной является способ подведе-
ния под знак дифференциала, заключающийся в преобразовании:
                         ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt = ∫ f (ϕ ) dϕ .
      Примеры. 1) Вычислить ∫ sin 2 x dx . Это не табличный интеграл (мешает
                                                  t         1
число 2). Произведем замену t = 2 x ; тогда x = , и dx = dt . Поэтому
                                                  2         2
                   t
                x= ,
                   2 = 1 sin t dt = − 1 cos t + C = t = 2 x = − 1 cos 2 x + C .
∫ sin 2 x dx =     1     ∫
               dx = dt 2              2                         2
                   2
2) Вычислить ∫ 1 − x 2 dx . Подынтегральная функция определена при | x | ≤ 1 .
                                    ⎡ π π⎤
Выполним замену x = sin t , где t ∈ ⎢− , ⎥ . Тогда dx = (sin t )′dt = cos t dt ,
                                    ⎣ 2 2⎦
 1 − sin 2 t = cos t . Следовательно,
                                           1                        1       1
            ∫   1 − x 2 dx = ∫ cos 2 t dt =
                                           2
                                              ∫  (1 + cos 2t ) dt = t + sin 2t + C .
                                                                     2      4
Возвращаясь к переменной x = sin t посредством равенства t = arcsin x , полу-
чим:
                                         1                1
                      ∫ 1 − x dx = 2 arcsin x + 2 x 1 − x + C .
                               2                                      2


                ln x dx               1
3) Вычислить ∫          . Так как = (ln x)′ , то можно воспользоваться способом
                    x                  x
подведения под знак дифференциала. Имеем
                   ln x dx                                             ln 2 x
                 ∫ x       = ∫ ln x ⋅ (ln  x ) ′ dx = ∫ ln x d ln x =         + C.
                                                                         2
      Общих рекомендаций по разыскиванию нужной подстановки не сущест-
вует. Умение здесь создается упражнениями.
                       в) Метод интегрирования по частям
      Метод интегрирования по частям основан на равенстве
                                    ∫ u dv = uv − ∫ v du ,                           (5)
называемом формулой интегрирования по частям, в котором u = u (x) и
v = v(x) – две дифференцируемые на промежутке D функции. Равенство (5)