Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 5 стр.

                                                                                                            5

       4. Таблица основных интегралов. Пользуясь таблицей производных ос-
новных элементарных функций, несложно составить аналогичную таблицу не-
определенных интегралов.
                                                                  Таблица
 ∫ 0 dx = C                          ∫ dx = x + C
             x k +1                                            dx
 ∫ x dx =
    k
                     + C , k ≠ −1                          ∫    x
                                                                  = ln | x | +C
            k +1
             ax                                                 x
 ∫ a x
       dx =         +C                                     ∫e       dx = e x + C
            ln a
 ∫ sin x dx = − cos x + C                                  ∫ cos x dx = sin x + C
     dx                                                         dx
 ∫ cos 2 x = tg x + C                                      ∫ sin 2 x = −ctg x + C
     dx                                                         dx
 ∫            = arcsin x + C = − arccos x + C              ∫ 1 + x2     = arctg x + C = −arcctg x + C
    1 − x2
 ∫ sh x dx = ch x + C                                      ∫ ch x dx = sh x + C
     5. Основные методы интегрирования. При вычислении производных
обычно пользуются стандартным набором правил и формул, что превращает
дифференцирование в единообразную, выполняемую по одним и тем же схе-
мам, работу. Иначе обстоит дело с интегрированием функций. Не существует
единого рецепта вычисления неопределенного интеграла, пригодного для про-
извольных элементарных функций. Поэтому приходится рассматривать отдель-
ные классы функций и для них разрабатывать правила по вычислению интегра-
лов.
                   а) Непосредственное интегрирование
     Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования
таблицы основных интегралов и свойств неопределенных интегралов называют
непосредственным интегрированием.
     Пример. Вычислить: a ) ∫ (2 x 3 − 3 e x + 1) dx ; б ) ∫ tg 2 x dx .
                       б) Метод замены переменной
     Одним из основных при интегрировании функций является метод замены
переменной (или метод подстановки), определяемый равенством
                            ∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt ,   (4)
где x = ϕ (t ) – дифференцируемая функция, определенная на некотором проме-
жутке так, что существует сложная функция f (ϕ (t )) .
Δ  Для доказательства формулы (4) заметим, что по правилу дифференцирова-
ния сложной функции при x = ϕ (t ) имеем

          (∫ f ( x) dx )t = (∫ f ( x) dx )x ⋅ d ϕ (t ) = f ( x) | x=ϕ (t ) ⋅ϕ ′(t ) = f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) .
                        /                  /


                                                 dt