Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 7 стр.

                                                                                                     7

получается с помощью формулы дифференцирования произведения двух функ-
ций.
Δ Докажем (5). По правилу дифференцирования произведения получим
                            d (uv) = u dv + v du ;
следовательно,      ∫ d (uv) = ∫ u dv + ∫ v du .     Учитывая второе из равенств (1), полу-
чим (5). ▲
      Формула (5) позволяет свести задачу вычисления интеграла ∫ u dv к вы-
числению интеграла ∫ v du , что в ряде случаев проще.
        Примеры. 1) Вычислить             ∫ xsin x dx .     Положим u = x , dv = sin x dx ; тогда
du = dx , v = ∫ sin x dx = − cos x + C . Так как в качестве v можно брать любую
функцию вида − cos x + C , то возьмем v = − cos x . Отсюда и из формулы (5) по-
лучим
     ∫ x sin x dx = ∫ u dv = uv − ∫ v du = − x cos x + ∫ cos x dx = − x cos x + sin x + C .
                                                                               dx
2) Вычислить ∫ ln x dx . Положим u = ln x , dv = dx ; тогда du =                  , v = x . Отсюда
                                                                                x
                                 dx
                  ∫ ln x dx = x ln x − ∫ x
                                  x
                                    = x ln x − x + C = x(ln x − 1) + C .
     Применяя формулу (5), следует разбить подынтегральное выражение на
два множителя: u и dv = v′dx таким образом, чтобы вычислялся или хотя бы
упрощался интеграл ∫ v′dx . Нельзя выбирать u и dv произвольно, иначе можно
получить еще более сложный интеграл. Метод интегрирования по частям по-
зволяет вычислять, например, интегралы типа
(a) ∫ x k sin x dx , ∫ x k cos x dx , ∫ x k e x dx ;
      ∫ x arcsin x dx , ∫ x arctg x dx , ∫ x
         k                  k                    k
(b)                                                  ln x dx ;
         x              x
(c)   ∫ e sin x dx , ∫ e cos x dx ,
а также подобные им. В случае (a) следует полагать u = x k ; в случае (b) –
dv = x k dx ; в случае (c) – u = e x . При этом для интегралов вида (a) и (b) требует-
ся ровно k раз применять формулу (5), а для интегралов вида (c) требуется дву-
кратное применение формулы.
      Пример. Применим метод интегрирования по частям для вычисления ин-
теграла
                                                 dx
                                       In = ∫ 2         , n∈ N .                  (6)
                                             ( x + 1) n
Δ     Полагая u = ( x 2 + 1) − n , dv = dx , получим
                                             x                   x 2 dx
                                In =
                                       ( x 2 + 1) n
                                                    + 2 n ∫ ( x 2 + 1) n+1 .
Но