Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 9 стр.

                                                                                              9

и так как ∫ W ( x) dx легко вычисляется, то дело сводится к интегрированию пра-
                 R( x)
вильной дроби          . Поэтому достаточно изучить интегрирование правильных
                Q( x)
дробей. Далее будем рассматривать только вещественные рациональные функ-
                            P( x)
ции, т.е. функции вида            с вещественными коэффициентами.
                           Q( x)
                                     Простые дроби
        Рассмотрим сначала простейшие рациональные функции – так называе-
мые простые (или элементарные) дроби:
        1                    Ax + B
I.            ,    II.                   ,
   ( x − a) k          ( x 2 + px + q) k
где a, p, q, A, B ∈ R, k ∈ N . Предполагается, что квадратный трехчлен
x 2 + px + q не имеет действительных корней, т.е. p 2 − 4q < 0 .
       Дробь вида I легко интегрируется. Действительно, при k = 1 и k ≥ 2 полу-
чим
                                      dx
                                  ∫ x − a = ln | x − a | +C ;
                        dx                 −k              1
                  ∫ ( x − a) k = ∫ ( x − a) dx = (1 − k )( x − a) k −1 + C .
     Для интегрирования дроби вида II выделим из выражения x 2 + px + q
полный квадрат:
                                        2
                                 ⎛    p⎞ ⎛       p2 ⎞
                     2
                                           ⎜
                    x + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q −    ⎟.
                                 ⎝    2⎠ ⎝       4 ⎟⎠
            2                       p2                                            p2
Так как p − 4q < 0 , то q −              > 0 , и, следовательно, число a = q −          являет-
                                    4                                              4
                                               p
ся вещественным. Положим t = x + , dt = dx . Тогда
                                               2
        Ax + B             (     )p
                           At− 2 +B
∫ ( x 2 + px + q) k dx = ∫ (t 2 + a 2 ) k dt =
                                                       t dt       ⎛    Ap ⎞    dt
                                               = A∫ 2       2 k
                                                                + ⎜B −    ⎟∫ 2          .   (8)
                                                    (t + a )      ⎝    2 ⎠ (t + a 2 ) k
В случае k = 1 каждый из полученных интегралов легко вычисляется подста-
новкой u = t 2 + a 2 и t = au соответственно:
                    t dt     1                               dt     1       t
               ∫ t 2 + a 2 = 2 ln(t + a ) + C и ∫ t 2 + a 2 = a arctg a + C .
                                    2      2


В случае k ≥ 2 для первого интеграла в правой части равенства (8) вновь при-
меним подстановку u = t 2 + a 2 :