Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 11 стр.

                                                                                             11

     Замечание. Выражение в правой части разложения (10) выглядит так гро-
моздко только из-за того, что оно выписано в максимальной общности. При
решении конкретных примеров все обстоит значительно проще.
     Равенство (10) выполняется для всех x , не являющихся вещественными
корнями многочлена Q( x) .
     Для того чтобы определить числа Aij , M ij , N ij , умножим обе части раз-
ложения (10) с неизвестными пока Aij , M ij , N ij на Q( x) . В результате умноже-
ния придем к равенству между многочленом P( x) и многочленом, который по-
лучится в правой части. Это означает, что коэффициенты, стоящие при равных
степенях x , должны быть равны между собой. Приравнивая их, получим сис-
тему линейных уравнений, из которой определим неизвестные числа Aij , M ij ,
N ij .
     Изложенный метод отыскания коэффициентов разложения рациональной
функции называется методом неопределенных коэффициентов. После разло-
             P( x)
жения дроби        на сумму простых дробей ее интегрирование сводится к
             Q( x)
сумме интегралов от простых дробей, приемы вычисления которых изложены
выше.
     Пример. Вычислить
                                    x 2 − 5x + 9
                        I =∫                             dx .
                             ( x − 1) 2 ( x 2 + 2 x + 2)
Δ    Разложим дробь на сумму простых:
                     x 2 − 5x + 9       A       B         Cx + D
                                     =     +           + 2         .                    (11)
              ( x − 1) ( x + 2 x + 2) x − 1 ( x − 1)
                       2   2                         2
                                                        x + 2x + 2
Умножая обе части равенства (11) на знаменатель Q( x) = ( x − 1) 2 ( x 2 + 2 x + 2) ,
имеем
    x 2 − 5 x + 9 = A( x − 1)( x 2 + 2 x + 2) + B( x 2 + 2 x + 2) + (Cx + D )( x − 1) 2 , или
   x 2 − 5 x + 9 = ( A + C ) x 3 + ( A + B − 2C + D ) x 2 + (2 B + C − 2 D) x − 2 A + 2 B + D .
Приравнивая теперь коэффициенты при одинаковых степенях многочленов
слева и справа в последнем равенстве, получаем систему линейных уравнений
(относительно A, B, C , D ):
                                      x3       A+C =0
                                      x 2 A + B − 2C + D = 1
                          x 2 B + C − 2 D = −5
                          1 − 2 A + 2B + D = 9
Решая полученную систему (например, методом Гаусса), найдем
                          7             7       21
                     A = − , B = 1, C = , D = .
                          5             5       5