Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

12
Вернемся к вычислению интеграла:
∫∫ ∫∫
=
++
+
++
+
−
+
−
−=
22
5
21
22
5
7
)1(
15
7
222
xx
dx
xx
dxx
x
dx
x
dx
I
Cxarctgxx
x
x ++++++
−
−−−= )1(
5
14
)22ln(
10
7
1
1
|1|ln
5
7
2
. ▲
2. Тригонометрические функции.
а) Интегралы вида
∫
dxxx
nm
cossin
,
Z
mn
∈
,
.
Если
n
– нечетное число, т.е.
12
+
=
k
n
, то используют подстановку
x
t si
n
=
:
∫∫
==
+
dxxxxdxxx
kmkm
coscossincossin
212
∫∫
−==
=
dtttxdxx
km
tx
km
)1()(sincossin
2
sin
2
.
Мы получили интеграл от рациональной функции. Аналогично, если
12
+=
k
m
,
то применяется подстановка
x
t cos=
.
Если
m
и
n
четные числа ( ln
k
m 2,2
=
=
), то подынтегральное выраже-
ние преобразуют с помощью следующих формул понижения степени:
xxxxxxx 2sin
2
1
cossin),2cos1(
2
1
cos),2cos1(
2
1
sin
22
=+=−=
.
Пример
. Вычислить
∫
= dxxI 3sin
4
.
Δ
∫∫∫
=+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−== dxxxdxxdxxI )6cos6cos21(
4
1
)6cos1(
2
1
)3(sin
2
2
22
∫∫
=++−=+−= dxxxxdxxxx )12cos1(
8
1
)6sin
3
1
(
4
1
6cos
4
1
)6sin
3
1
(
4
1
2
C
xx
xCxxxx +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=+++−=
24
12sin
3
6sin
2
3
4
1
)12sin
12
1
(
8
1
)6sin
3
1
(
4
1
.
▲
б) Интегралы вида
∫
dxxxR )cos,(sin ,
где
),( vuR
– рациональная функция переменных
vu,
.
Рациональной функцией
),( vuR
переменных
vu,
называют функцию ви-
да
),(
),(
),(
vuQ
vuP
vuR
=
,
где ),( vu
P
и ),( vuQ – многочлены двух переменных, т.е.
∑
=+
=
n
ji
ji
ij
vuavuP
0
),( ,
∑
=+
=
m
ji
ji
ij
vubvuQ
0
),(.
Указанный интеграл может быть вычислен с помощью универсальной
подстановки
)(
2
ππ
<<−= x
x
tgt
. 
                                                                                                                               12

Вернемся к вычислению интеграла:
       7 dx           dx      7        x dx       21        dx
I =− ∫         +∫            + ∫ 2              + ∫ 2             =
       5 x −1     ( x − 1) 2
                              5 x + 2x + 2 5 x + 2x + 2
                        7                1      7                  14
                    = − ln | x − 1 | −       + ln( x 2 + 2 x + 2) + arctg ( x + 1) + C . ▲
                        5              x − 1 10                     5
        2. Тригонометрические функции.
                  а) Интегралы вида ∫ sin m x cos n x dx , n, m ∈ Z .
        Если n – нечетное число, т.е. n = 2k + 1, то используют подстановку
t = sin x :
                                                 m     2 k +1         m      2k
                                            ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x cos x cos x dx =
                                                                                             sin x =t
                                                          = ∫ sin m x cos 2 k x d (sin x) =             ∫t
                                                                                                             m
                                                                                                                 (1 − t 2 ) k dt .
Мы получили интеграл от рациональной функции. Аналогично, если m = 2k + 1,
то применяется подстановка t = cos x .
      Если m и n четные числа ( m = 2k , n = 2l ), то подынтегральное выраже-
ние преобразуют с помощью следующих формул понижения степени:
                1                         1                           1
       sin 2 x = (1 − cos 2 x), cos 2 x = (1 + cos 2 x), sin x cos x = sin 2 x .
                2                         2                           2
      Пример. Вычислить
                                   I = ∫ sin 4 3x dx .
                                                      2
Δ I = ∫ (sin 3x) dx = ∫ ⎛⎜ 1 (1 − cos 6 x) ⎞⎟ dx = 1 ∫ (1 − 2 cos 6 x + cos 2 6 x) dx =
              2    2

                         ⎝2                 ⎠      4
 1     1          1                  1        1           1
= ( x − sin 6 x) + ∫ cos 2 6 x dx = ( x − sin 6 x) + ∫ (1 + cos 12 x) dx =
 4     3          4                  4        3           8
 1     1          1        1                    1⎛3      sin 6 x sin 12 x ⎞
= ( x − sin 6 x) + ( x + sin 12 x) + C = ⎜ x −                   +         ⎟+C. ▲
 4      3         8       12                    4⎝ 2        3         24 ⎠
                      б) Интегралы вида ∫ R(sin x, cos x) dx ,
            где R(u , v) – рациональная функция переменных u, v .
      Рациональной функцией R(u, v) переменных u, v называют функцию ви-
да
                                           P(u, v)
                                               R(u , v) =
                                                    ,
                                          Q (u , v)
где P(u , v) и Q(u , v) – многочлены двух переменных, т.е.
                                       n                                    m
                       P (u, v) =    ∑ aij u i v j ,         Q(u , v) =    ∑ bij u i v j .
                                    i + j =0                              i + j =0
     Указанный интеграл может быть вычислен с помощью универсальной
подстановки
                               x
                        t = tg    (−π < x < π ) .
                               2

Страницы