Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

13
Действительно, во-первых, tarctg
x
2= и, следовательно, dttdx
12
)1(2
−
+= . Во-
вторых, применяя известные формулы тригонометрии, получим
2
2
2
1
1
cos,
1
2
sin
t
t
x
t
t
x
+
−
=
+
=
.
Тогда исходный интеграл преобразуется к виду
22
2
2
1
2
1
1
,
1
2
t
dt
t
t
t
t
R
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
+
∫
,
в котором подынтегральное выражение является рациональной функцией и,
следовательно, интеграл может быть вычислен в соответствии с изложенной
ранее схемой.
Пример
. Вычислить
∫
− xx
dxx
sincos2
sin
.
Δ
Применяя универсальную тригонометрическую подстановку, получим ин-
теграл
∫
−−+ )1)(1(
2
22
ttt
dtt
,
для вычисления которого можно воспользоваться методом неопределенных ко-
эффициентов.
▲
На практике универсальная подстановка часто приводит к громоздким
выкладкам. В ряде случаев более удобны другие подстановки:
1)
x
t cos= , если )cos,(sin)cos,sin(
x
x
R
x
x
R −=
−
;
2)
x
t sin=
, если
)cos,(sin)cos,(sin
x
x
R
x
x
R −=−
;
3)
x
tgt =
, если
)cos,(sin)cos,sin(
x
x
R
x
x
R =−
−
.
Пример
. Вычислить
∫
+
=
)cos(sincos
sin
2
xxx
dxx
I
.
Δ
Здесь можно использовать универсальную подстановку, но поскольку
)cos,(sin)cos,sin(
x
x
R
x
x
R
=
−−
, положим
x
tgt
=
. Тогда
∫∫ ∫∫
=
+
=
+
=
+
=⋅
+
=
11
)(
1
)(
cos
)cos(sin
1
2
sin
1
t
dtt
xtg
xtgdxtg
xctg
xtgd
x
dx
xx
I
x
∫∫∫
++−=++−=
+
−=
+
−
+
= CxtgxtgCtt
t
dt
dt
t
dtt
|1|ln|1|ln
11
)11(
. ▲
3. Иррациональные функции.
а) Интегралы вида
dx
dcx
bax
dcx
bax
xR
q
p
q
p
∫
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
,...,,
2
2
1
1
,
где
R
– рациональная функция и
,...,,,
2211
qpqp
– целые числа.
Интегралы такого вида вычисляются с помощью подстановки 
                                                                                                13


Действительно, во-первых, x = 2arctg t и, следовательно, dx = 2(1 + t 2 ) −1 dt . Во-
вторых, применяя известные формулы тригонометрии, получим
                                 2t                      1− t2
                       sin x =         ,       cos   x =       .
                               1+ t2                     1+ t2
Тогда исходный интеграл преобразуется к виду
                               ⎛ 2t 1 − t 2 ⎞ 2dt
                           ∫ ⎜⎜ 1 + t 2 , 1 + t 2 ⎟⎟ 1 + t 2 ,
                             R
                               ⎝                   ⎠
в котором подынтегральное выражение является рациональной функцией и,
следовательно, интеграл может быть вычислен в соответствии с изложенной
ранее схемой.
                              sin x dx
      Пример. Вычислить ∫                    .
                           2 cos x − sin x
Δ Применяя универсальную тригонометрическую подстановку, получим ин-
теграл
                                                2t dt
                                     ∫ (1 + t 2 )(1 − t − t 2 ) ,
для вычисления которого можно воспользоваться методом неопределенных ко-
эффициентов. ▲
      На практике универсальная подстановка часто приводит к громоздким
выкладкам. В ряде случаев более удобны другие подстановки:
1) t = cos x , если R (− sin x, cos x) = − R (sin x, cos x) ;
2) t = sin x , если R (sin x, − cos x) = − R (sin x, cos x) ;
3) t = tg x , если R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) .
   Пример. Вычислить
                                                 sin x dx
                                  I =∫      2
                                                                  .
                                        cos x(sin x + cos x)
Δ Здесь можно использовать универсальную подстановку, но поскольку
R (− sin x, − cos x) = R (sin x, cos x) , положим t = tg x . Тогда
                 1             dx        d (tg x)    tg x d (tg x)     t dt
I =∫ 1                      ⋅      =∫             =∫               =∫       =
      sin x (sin x + cos x ) cos x     1 + ctg x       tg x + 1       t +1
                                2


               (t + 1 − 1) dt              dt
            =∫                = ∫ dt − ∫      = t − ln | t + 1 | +C = tg x − ln | tg x + 1 | +C . ▲
                   t +1                  t +1
      3. Иррациональные функции.
                                           ⎛               p1            p2
                                                                              ⎞
                                           ⎜ ⎛ ax + b ⎞ q1 ⎛ ax + b ⎞ q2 ⎟
             а) Интегралы вида ∫ R⎜ x, ⎜                 ⎟ ,⎜          ⎟ ,... ⎟ dx ,
                                           ⎜ ⎝ cx + d ⎠ ⎝ cx + d ⎠            ⎟
                                           ⎝                                  ⎠
          где R – рациональная функция и p1 , q1 , p2 , q2 ,... – целые числа.
      Интегралы такого вида вычисляются с помощью подстановки

Страницы