Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

15
∫∫∫
+−=−=
−
−
=+=
−
Cttdtttdt
t
tt
dxxxI
4736
23
333
3
1
4
1
2
1
3
7
12
)(12
)1(
)1(
12)1(
,
где
3
4
1 xt += . ▲
в) Интегралы вида
dxcbxaxxR ),(
2
∫
++
,
где R – рациональная функция.
Такие выражения всегда интегрируются в конечном виде. Один из воз-
можных методов интегрирования состоит в следующем.
Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене cbxax ++
2
и совер-
шаем замену переменной по формуле
a
b
xz
2
+= ; после этого исходный инте-
грал сводится к одному из следующих трех типов:
1)
dzzdzR ),(
22
∫
− , 2) dzzdzR ),(
22
∫
+ , 3) dzdzzR ),(
22
∫
− .
Эти три типа интегралов вычисляются с помощью тригонометрической (или
гиперболической) подстановки соответственно
1)
td
z
sin= или tthd
z
=
,
2)
ttgd
z
=
или
tshd
z
=
,
3)
t
d
z
cos
= или tchd
z
=
.
В результате этих подстановок указанные интегралы приводятся к виду
∫
dtttR )cos,(sin или
∫
dttchtshR ),(. Интегралы от гиперболических функций
вычисляются аналогично интегралам от тригонометрических функций.
В частном случае, когда требуется вычислить интегралы вида
0,
22
>−
∫
adxxa
, и
∫
+ dxbx
2
,
можно обойтись без замены переменной. Вычислим первый из них:
∫∫∫∫
=
−
−
−
=
−
−
=−
22
2
22
2
22
22
22
xa
dxx
xa
dx
adx
xa
xa
dxxa
()
∫∫∫
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−
−
−
=
22
2
2
22
2
2
2
arcsin
1
xa
dxx
a
x
a
xa
dxx
a
dx
a
a
x
.
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся методом интегрирования
по частям:
22
,
xa
dxx
dvxu
−
==
.
Тогда
∫∫
−+−−=
−
dxxaxax
xa
dxx
2222
22
2
.
Вернемся к исходному интегралу: 
                                                                                                              15

                   1          1 1
               −                               t 3 (t 3 − 1) 3                            12
       I =∫x       2 (1 +   x 4 ) 3 dx   = 12 ∫ 3          2
                                                               dt = 12 ∫ (t 6 − t 3 ) dt = t 7 − 3t 4 + C ,
                                                 (t − 1)                                   7
где t = 3 1 + 4 x . ▲
                            в) Интегралы вида ∫ R( x, ax 2 + bx + c ) dx ,
                       где R – рациональная функция.
      Такие выражения всегда интегрируются в конечном виде. Один из воз-
можных методов интегрирования состоит в следующем.
      Выделяем полный квадрат в квадратном трехчлене ax 2 + bx + c и совер-
                                            b
шаем замену переменной по формуле z = x +      ; после этого исходный инте-
                                            2a
грал сводится к одному из следующих трех типов:
1) ∫ R( z , d 2 − z 2 ) dz , 2) ∫ R( z , d 2 + z 2 ) dz , 3) ∫ R( z , z 2 − d 2 ) dz .
Эти три типа интегралов вычисляются с помощью тригонометрической (или
гиперболической) подстановки соответственно
1) z = d sin t или z = d th t ,
2) z = d tg t или z = d sh t ,
           d
3) z =           или z = d ch t .
        cos t
В результате этих подстановок указанные интегралы приводятся к виду
∫ R(sin t , cos t ) dt или ∫ R( sh t , ch t ) dt . Интегралы от гиперболических функций
вычисляются аналогично интегралам от тригонометрических функций.
       В частном случае, когда требуется вычислить интегралы вида
                          a 2 − x 2 dx, a > 0 , и ∫ x 2 + b dx ,
                                 ∫
можно обойтись без замены переменной. Вычислим первый из них:
                  a2 − x2                dx            x 2 dx
∫                ∫ 2 2               ∫ 2 2 ∫ 2 2=
    2     2                        2
  a   − x   dx =          dx  = a               −
                   a −x                a −x           a −x
                                                     2
                                      dx           x dx                   ⎛ x⎞     x 2 dx
                          = a2 ∫              −∫              = a 2 arcsin⎜ ⎟ − ∫            .
                                 a 1 − (a )
                                          x 2                             ⎝ a ⎠
                                                    2       2                       2      2
                                                  a    −  x                       a    − x
Для вычисления последнего интеграла воспользуемся методом интегрирования
по частям:
                                            x dx
                             u = x , dv =          .
                                            2    2
                                          a −x
Тогда
                      x 2 dx           2  2        2 2
                  ∫ 2 2 = − x a − x + ∫ a − x dx .
                     a −x
Вернемся к исходному интегралу:

Страницы