Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 17 стр.

                                                                                                   17

                               ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
      1. Понятие определенного интеграла. Пусть функция f (x) определена
на отрезке [a, b] . Назовем разбиением отрезка [a, b] совокупность точек
τ = {x0 , x1 ,..., xn } : a = x0 < x1 < ... < xn = b . Точки xk ( 0 ≤ k ≤ n ) будем называть
точками разбиения. В каждом из полученных отрезков разбиения [ xk , xk +1 ] вы-
берем произвольную точку ξ k ( xk ≤ ξ k ≤ xk +1 ). Символом Δ xk обозначим раз-
ность xk +1 − xk ( Δ xk – длина отрезка разбиения).
      Образуем сумму
                                                                               n −1
      σ f = σ f (τ ,ξ ) = f (ξ 0 )Δ x0 + f (ξ1 )Δ x1 + ... + f (ξ n−1 )Δ xn−1 = ∑ f (ξ k )Δ xk .
                                                                               k =0
Эту сумму называют интегральной суммой (для) функции f (x) на [a, b] , соот-
ветствующей данному разбиению τ отрезка [a, b] и данному выбору промежу-
точных точек ξ k .
       Для того чтобы выяснить геометрический смысл интегральной суммы
σ f , изобразим график функции y = f (x) на отрезке [a, b] (рис. 1).

                          Y
                   f (ξ n −1 )                                                    C


                      f (ξ1 )

                     f (ξ 0 )
                                 D

                                 A                                                B    X
                          0 a = x0 x1   x2                                xn −1 xn = b
                                   Рис. 1.
     Ясно, что σ f – это сумма площадей прямоугольников с основаниями Δ x0 ,
  Δ x1 , …, Δ x n − 1 и высотами f (ξ 0 ) , f (ξ1 ) ,…, f (ξ n−1 ) соответственно (рис. 1
   сделан для случая, когда f ( x) > 0 ). Очевидно также, что σ f представляет
  собой приближенное значение площади криволинейной трапеции ABCD (рис.
1), и это приближенное значение тем точнее, чем «мельче» разбиение отрезка
   [a, b] точками x0 , x1 ,..., xn . При этом площадь k -го прямоугольника на рис. 1
                                                                   равна f (ξ k ) Δ xk .
       Обозначим через d длину наибольшего отрезка разбиения, т.е.
d = max Δ xk . Число d назовем мелкостью разбиения отрезка [a, b] .
    0 ≤ k ≤ n −1
        Определение 1. Число I называется пределом интегральных сумм
σ f (τ ,ξ ) при d → 0 , если ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 такое, что для всякого разбиения τ , у