Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 16 стр.

                                                                                     16

                                            x
            ∫   a 2 − x 2 dx = a 2 arcsin
                                            a
                                              + x a 2 − x 2 − ∫ a 2 − x 2 dx + C .
Из последнего равенства получаем
                                                     x
                     2 ∫ a 2 − x 2 dx = a 2 arcsin     + x a2 − x2 + C
                                                     a
и, разделив обе части на два, найдем
                                 1 2        x
                  ∫ a − x dx = 2 ( a arcsin a + x a − x ) + C .
                     2    2                        2   2



     Поступая аналогично для         ∫      x 2 + b dx , получим
                              1
                 ∫x 2 + b dx = ⎛⎜ x x 2 + b + b ln x + x 2 + b ⎞⎟ + C .
                              2⎝                                ⎠
      4. О «неберущихся» интегралах. Рассмотренные методы и приемы ин-
тегрирования не исчерпывают всех классов интегрируемых элементарных
функций. В то же время из всего изложенного следует, что техника интегриро-
вания сложнее по сравнению с дифференцированием. Не существует общего
универсального метода интегрирования, поэтому этот раздел математики мало
алгоритмичен. Необходимы определенные навыки и изобретательность, кото-
рые приобретаются на практике в результате решения большого числа приме-
ров. Возникает вопрос о возможности вычисления интеграла от любой элемен-
тарной функции. Все элементарные функции дифференцируемы и их произ-
водные снова являются элементарными функциями. Об интегрировании функ-
ций это сказать нельзя. Существует немало элементарных функций, интегралы
от которых не выражаются через элементарные функции (говорят: «не интегри-
руются в конечном виде»), например:
         − x2                                      sin x       cos x    dx
      ∫ e dx, ∫ 1 − k sin x dx (0 < k < 1), ∫ x dx, ∫ x dx, ∫ ln x .
                        2   2


Подчеркнем, что эти интегралы существуют, но они определяют функции, не
являющиеся элементарными.
      Было бы ошибочно считать, что «неберущиеся» интегралы являются эк-
зотикой, придуманной математиками. На самом деле, именно «берущиеся» ин-
тегралы следует считать экзотикой; они представляют собой редкое исключе-
ние в многообразии «неберущихся» интегралов. К «неберущимся» интегралам
приводят многие теоретические и практические задачи. Например, первый из
приведенных интегралов возникает в задачах теории вероятностей и статисти-
ки, второй (относящийся к так называемым эллиптическим интегралам) – в за-
дачах механики.