Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 18 стр.

                                                                                  18

которого d < δ , выполняется неравенство | σ f (τ ,ξ ) − I | < ε при любом выборе
промежуточных точек ξ k .
      Определение 2. Функция f (x) называется интегрируемой (по Риману) на
отрезке [a, b] , если существует конечный предел
                                  lim σ f (τ ,ξ ) = I .
                                      d →0
      При этом число I называется определенным интегралом от функции
f (x) по отрезку [a, b] и обозначается символом
                                             b
                                        I = ∫ f ( x) dx .
                                             a
Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) –
подынтегральной функцией, а x – переменной интегрирования.
      В отличие от неопределенного интеграла, определенный интеграл пред-
ставляет собой число, а не функцию. Если интеграл существует, то это число
определяется однозначно и зависит только от вида функции f (x) и от чисел a
и b . Отсюда, в частности, следует, что определенный интеграл не зависит от
выбора обозначения для переменной интегрирования:
                        b              b            b

                        ∫   f ( x) dx = ∫ f (t ) dt = ∫ f (u ) du и т.д.
                        a              a            a
      Вычисление определенного интеграла в соответствии с приведенным оп-
ределением связано с трудностями и громоздкими подсчетами. Поэтому чаще
используют другие подходы, о которых будет говориться ниже.
      Пусть функция f (x) является интегрируемой на отрезке [a, b] функцией.
В этом случае будем писать f ( x) ∈ L [a, b] . Здесь L [a, b] обозначает множество
всех интегрируемых на [a, b] функций (вспомните, что представляют из себя
множества C [a, b] и C 1 [a, b] ).
         2. Условия существования определенного интеграла.
         Теорема 5 (необходимое условие интегрируемости функции). Если
 f ( x) ∈ L [a, b] , то она ограничена на [a, b] .
Δ    Предположим противное, т.е. допустим, что f (x) неограничена на [a, b] .
Покажем, что в этом случае интегральную сумму σ f можно за счет выбора то-
чек ξ 0 , ξ1 ,..., ξ n−1 сделать сколь угодно большой при любом разбиении отрезка
[ a, b] .
          Действительно, так как f (x) неограничена на [a, b] , то при любом раз-
биении отрезка [a, b] , по крайней мере, на одном из отрезков [ xk , xk +1 ] функция
 f (x) будет неограничена. Пусть для определенности она неограничена на от-
резке [ xi , xi +1 ] . Интегральную сумму σ f представим в виде