Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 20 стр.

                                                                                                 20

     3. Свойства определенного интеграла.
     Сначала расширим понятие определенного интеграла. В определении мы
считали, что a < b . Распространим определение на случаи a = b и a > b , полагая
                      a                      def               b                  def     a

                      ∫ f ( x) dx = 0               и          ∫ f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx .
                      a                                        a                          b
                                         b
1) Если C – константа, то ∫ C dx = C (b − a ) .
                                         a
Δ   Интегральная сумма σ f для функции f ( x) ≡ C при любом разбиении отрез-
ка [a, b] равна
                                             n −1                  n −1
                          σ f = ∑ C ⋅ Δ xk = C ∑ Δ xk = C (b − a ) ,
                                         k =0                      k =0

откуда lim σ f = C (b − a) . ▲
        d →0

2) Если f ( x) ∈ L [a, b] и g ( x) ∈ L [a, b] , то f ( x) g ( x) ∈ L [a, b] .
3) Если f ( x) ∈ L [a, b] , то f ( x) ∈ L [c, d ] для любого отрезка [c, d ] ⊂ [a, b] .
4) Аддитивность интеграла. Для любых чисел a, b, c имеет место равенство
                                 b                  c                     b

                                 ∫   f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx .                   (12)
                                 a                  a                     c
(Здесь предполагается, что интегралы, входящие в доказываемую формулу, су-
ществуют.)
 Δ Допустим сначала, что a < c < b . Так как предел интегральной суммы σ f не
зависит от способа разбиения отрезка [a, b] , то будем разбивать [a, b] так, что-
бы точка c была точкой разбиения. Если, например, c = xm , то σ f можно раз-
бить на две суммы:
                          τ 1 : a = x0 < x1 < ... < xm = c ,
                         τ 2 : c = xm < xm+1 < ... < xn = b ,
                          n −1                          m −1                            n −1
                   σ f = ∑ f (ξ k ) Δ xk = ∑ f (ξ k ) Δ xk + ∑ f (ξ k ) Δ xk .
                          k =0                          k =0                            k =m
Переходя в этом равенстве к пределу при d → 0 , получаем равенство (12).
     Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по
всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.
     Доказательство для другого расположения точек a, b, c легко сводится к
рассмотренному случаю. Пусть, например, a < b < c ; тогда по доказанному име-
ем:
                                     c                  b                     c

                                     ∫   f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx ,
                                     a                  a                     b
откуда получаем