Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

21
∫∫∫∫∫
+=−=
c
a
b
c
c
a
c
b
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf )()()()()(
,
т.е. опять пришли к равенству (12).
▲
5) Линейность интеграла
. Если ],[)( baL
x
f
∈
и ],[)( baL
x
g
∈
, то для любых
R∈
β
α
, функция ],[)()( baL
x
g
x
f
∈+
β
α
. При этом справедливо равенство
∫∫∫
+=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
βαβα
. (13)
В частности, из (13) получаем:
∫∫
=
b
a
b
a
dxxfdxxf )()(
αα
(при 0
=
β
),
∫∫∫
+=+
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()())()((
(при
1=
=
β
α
).
Δ
Для произвольного разбиения отрезка ],[ ba имеем
∑∑∑
−
=
−
=
−
=
Δ+Δ=Δ+
1
0
1
0
1
0
)()())()((
n
k
n
k
n
k
kkkkkkk
xgxfxgf
ξβξαξβξα
.
Переходя в равенстве к пределу при 0→d , получим соотношение (13).
▲
6) Если ],[)(),( baL
x
g
x
f
∈
и )()(
x
g
x
f
≤ для ],[ ba
x
∈
∀
, то
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
.
(Подумайте о геометрическом истолковании этого свойства.)
Δ
Рассмотрим функцию
],[)()()( baL
x
f
x
g
x
h
∈
−
=
(см. свойство 5). Любая
интегральная сумма
∑
−
=
Δ=
1
0
)(
n
k
kkh
xh
ξσ
для функции )(
x
h на ],[ ba неотрица-
тельна, т.к.
0)( ≥
k
h
ξ
и
0>Δ
k
x
для
k
∀
. Переходя к пределу при
0→d
в нера-
венстве
0)(
1
0
≥Δ=
∑
−
=
n
k
kkh
xh
ξσ
, получаем
∫∫
≥−=
b
a
b
a
dxxfxgdxxh 0))()(()(
,
и осталось снова воспользоваться свойством 5.
▲
7) Если ],[)( baL
x
f
∈ и
x
f
m ≤
≤
)( для ],[ ba
x
∈
∀
, то
∫
−≤≤−
b
a
abMdxxfabm )()()(
. (14)
Δ
Следует из свойства 1 и свойства 6. ▲
4. Теорема о среднем значении.
Теорема 7
. Если ],[)( baL
x
f
∈ и
x
f
m
≤
≤
)( для ],[ ba
x
∈∀ , то
],[
m∈∃
μ
такое, что 
                                                                                                                     21

                       b                   c                  c                    c       b

                       ∫   f ( x) dx = ∫ f ( x) dx − ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx ,
                       a                   a                  b                    a       c

т.е. опять пришли к равенству (12). ▲
5) Линейность интеграла. Если f ( x) ∈ L [a, b] и g ( x) ∈ L [a, b] , то для любых
α , β ∈ R функция α f ( x) + β g ( x) ∈ L [a, b] . При этом справедливо равенство
                                       b                                               b           b

                                       ∫ (α f ( x) + β g ( x)) dx = α ∫ f ( x) dx + β ∫ g ( x) dx .                (13)
                                       a                                               a           a
В частности, из (13) получаем:
                                   b                                  b

                                   ∫ α f ( x) dx = α ∫ f ( x)dx (при β = 0 ),
                                   a                                  a
                   b                                      b                    b

                   ∫ ( f ( x) + g ( x)) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx (при α = β = 1 ).
                   a                                      a                    a
Δ   Для произвольного разбиения отрезка [a, b] имеем
            n −1                                                          n −1             n −1
            ∑ (α f (ξ k ) + β g (ξ k )) Δ xk = α ∑ f (ξ k ) Δ xk + β ∑ g (ξ k ) Δ xk .
            k =0                                                          k =0             k =0

Переходя в равенстве к пределу при d → 0 , получим соотношение (13).                                          ▲
6) Если f ( x), g ( x) ∈ L [a, b] и f ( x) ≤ g ( x) для ∀ x ∈ [a, b] , то
                                                      b                    b

                                                      ∫   f ( x) dx ≤ ∫ g ( x) dx .
                                                      a                    a
(Подумайте о геометрическом истолковании этого свойства.)
 Δ Рассмотрим функцию h( x) = g ( x) − f ( x) ∈ L [a, b] (см. свойство 5). Любая
                                               n −1
интегральная сумма σ h = ∑ h(ξ k ) Δ xk для функции h(x) на [a, b] неотрица-
                                               k =0
тельна, т.к. h(ξ k ) ≥ 0 и Δ xk > 0 для ∀ k . Переходя к пределу при d → 0 в нера-
               n −1
венстве σ h = ∑ h(ξ k ) Δ xk ≥ 0 , получаем
               k =0
                                           b                  b

                                           ∫ h( x) dx = ∫ ( g ( x) − f ( x)) dx ≥ 0 ,
                                           a                  a

и осталось снова воспользоваться свойством 5. ▲
7) Если f ( x) ∈ L [a, b] и m ≤ f ( x) ≤ M для ∀ x ∈ [a, b] , то
                                                                  b
                                           m(b − a ) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M (b − a ) .                                 (14)
                                                                  a

Δ  Следует из свойства 1 и свойства 6. ▲
      4. Теорема о среднем значении.
      Теорема 7. Если f ( x) ∈ L [a, b] и m ≤ f ( x) ≤ M                                          для ∀ x ∈ [a, b] , то
∃ μ ∈ [m, M ] такое, что

Страницы