Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

22
∫
−=
b
a
abdxxf )()(
μ
. (15)
Δ
Положим
∫
−
=
b
a
dxxf
ab
)(
1
μ
;
тогда равенство (15) очевидно. Включение
],[
M
m
∈
μ
следует из оценок (14).
▲
Теореме 7 можно придать другую форму, если учесть включение
],[],[ baLbaC ⊂ .
Теорема 8
. Если
],[ baC
f
∈
, то
],[ ba
∈
∃
ξ
такое, что
∫
−=
b
a
abfdxxf ))(()(
ξ
. (16)
Δ
Пусть
)(min xfm
bxa ≤≤
=
,
)(max xfM
bxa ≤≤
=
. Так как функция
)(
x
f
непрерывна на
],[ ba , то для ],[
M
m
∈
∀
μ
по теореме о промежуточных значениях непрерывной
функции получаем, что
],[ ba
∈
∃
ξ
такое, что
μ
ξ
=
)(
f
. Отсюда и из теоремы 7
получим равенство (16).
▲
Рис. 2.
Теорема о среднем имеет простой геометрический смысл: существует
точка ],[ ba∈
ξ
такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна
площади прямоугольника
ABMK
, имеющего высоту
)(
ξ
f
и основание
ab −
(рис. 2).
5. Интеграл с переменным верхним пределом. Сейчас перед нами сто-
ит задача вывода основной формулы интегрального исчисления, которая уста-
навливает связь между понятиями определенного интеграла и первообразной.
До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными
пределами интегрирования
a
и
b
. Очевидно, что при изменении одного из пре-
делов (например, верхнего) величина интеграла будет изменяться.
Y
OX
AB
C
D
M
K
a
b
)(
ξ
f
ξ
                                                                                  22

                                       b

                                       ∫ f ( x) dx = μ (b − a) .            (15)
                                       a
Δ   Положим
                                   1 b
                                       μ=
                                      ∫ f ( x) dx ;
                                  b−a a
тогда равенство (15) очевидно. Включение μ ∈[m, M ] следует из оценок (14).
                                                                              ▲
         Теореме 7 можно придать другую форму, если учесть включение
C [ a, b ] ⊂ L [ a , b ] .
         Теорема 8. Если f ∈ C [a, b] , то ∃ ξ ∈[a, b] такое, что
                                 b

                                 ∫ f ( x) dx = f (ξ )(b − a) .             (16)
                                 a
Δ   Пусть m = min f ( x) , M = max f ( x) . Так как функция f ( x) непрерывна на
              a ≤ x≤b                 a≤ x≤b
[a, b] , то для ∀ μ ∈ [m, M ] по теореме о промежуточных значениях непрерывной
функции получаем, что ∃ ξ ∈ [a, b] такое, что f (ξ ) = μ . Отсюда и из теоремы 7
получим равенство (16). ▲

                    Y
                                                                     C


                             K
                f (ξ )                                               M


                         D

                         A                                           B
                    O        a                                   ξ   b X
                                   Рис. 2.
       Теорема о среднем имеет простой геометрический смысл: существует
точка ξ ∈ [a, b] такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна
площади прямоугольника ABMK , имеющего высоту f (ξ ) и основание b − a
(рис. 2).
       5. Интеграл с переменным верхним пределом. Сейчас перед нами сто-
ит задача вывода основной формулы интегрального исчисления, которая уста-
навливает связь между понятиями определенного интеграла и первообразной.
       До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными
пределами интегрирования a и b . Очевидно, что при изменении одного из пре-
делов (например, верхнего) величина интеграла будет изменяться.

Страницы