Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

24
∫∫
+=
x
a
Cdttfdxxf )()(
,
где C – произвольная постоянная.
В силу вышеизложенных соображений теорему 9 часто называют теоре-
мой о существовании первообразной для непрерывной функции.
6. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема 9 не только указывает на связь
между понятиями неопределенного и определенного интеграла, но и дает прак-
тический способ вычисления определенных интегралов в случае, когда подын-
тегральная функция непрерывна.
Теорема 10
. Если функция ],[ baC
f
∈ , то
∫
−=
b
a
aFbFdxxf )()()(
, (17)
где
)(
x
F
– первообразная для функции
)(
x
f
. Формула (17) называется форму-
лой Ньютона-Лейбница.
Δ
Поскольку функция
)(
x
f
непрерывна на отрезке
],[ ba
, то она интегрируема
на нем и, значит, существует
∫
b
a
dxxf )(
. Далее, в силу непрерывности функции
)(
x
f
на ],[ ba у нее на этом отрезке существует первообразная (теорема 9).
Мы установили, что функция
∫
=Φ
x
a
dttfx )()(
является одной из первооб-
разных для функции )(
x
f
; следовательно, для любой первообразной )(
x
F име-
ем
C
x
F
x
+
=
Φ )()(
. (18)
Отметим, что равенство (18) выполняется для ],[ ba
x
∈
∀
.
Поскольку
∫
==Φ
a
a
dttfa 0)()(
и из (18)
CaFa
+
=
Φ
)()(
, то
)(aFC −=
.
Следовательно, )()()( aF
x
F
x
−=
Φ
, в частности, )()()( aFbFb −=
Φ
. Но
∫∫
==Φ
b
a
b
a
dxxfdttfb )()()(
, откуда получаем равенство (17).
▲
Разность
)()( a
F
b
F
−
принято условно записывать в виде
b
a
xF )(
, поэтому
формула (17) в краткой записи выглядит так:
∫
=
b
a
b
a
xFdxxf )()(
.
7. Методы вычисления определенных интегралов. Так как формула
Ньютона-Лейбница сводит задачу вычисления определенного интеграла от не-
прерывной функции к нахождению первообразной, то все основные методы
вычисления неопределенных интегралов переносятся и на задачу вычисления 
                                                                                               24

                                                    x

                                  ∫   f ( x) dx = ∫ f (t ) dt + C ,
                                                    a
где C – произвольная постоянная.
      В силу вышеизложенных соображений теорему 9 часто называют теоре-
мой о существовании первообразной для непрерывной функции.
      6. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема 9 не только указывает на связь
между понятиями неопределенного и определенного интеграла, но и дает прак-
тический способ вычисления определенных интегралов в случае, когда подын-
тегральная функция непрерывна.
      Теорема 10. Если функция f ∈ C [a, b] , то
                                      b

                                      ∫ f ( x) dx = F (b) − F (a) ,                         (17)
                                      a
где F (x) – первообразная для функции f (x) . Формула (17) называется форму-
лой Ньютона-Лейбница.
Δ Поскольку функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] , то она интегрируема
                                      b
на нем и, значит, существует          ∫ f ( x) dx . Далее, в силу непрерывности функции
                                      a
f (x) на [a, b] у нее на этом отрезке существует первообразная (теорема 9).
                                                           x
      Мы установили, что функция Φ ( x) = ∫ f (t ) dt является одной из первооб-
                                                           a
разных для функции f (x) ; следовательно, для любой первообразной F (x) име-
ем
                               Φ ( x) = F ( x) + C .                   (18)
Отметим, что равенство (18) выполняется для ∀ x ∈ [a, b] .
                             a
      Поскольку Φ (a ) = ∫ f (t ) dt = 0 и из (18) Φ (a ) = F (a) + C , то C = − F (a) .
                             a
Следовательно,        Φ ( x) = F ( x) − F (a ) , в частности,         Φ (b) = F (b) − F (a ) . Но
       b          b
Φ (b) = ∫ f (t ) dt = ∫ f ( x) dx , откуда получаем равенство (17). ▲
       a          a
                                                                                     b
     Разность F (b) − F (a ) принято условно записывать в виде F ( x) a , поэтому
формула (17) в краткой записи выглядит так:
                                          b
                                                               b
                                          ∫ f ( x) dx = F ( x) a .
                                          a
     7. Методы вычисления определенных интегралов. Так как формула
Ньютона-Лейбница сводит задачу вычисления определенного интеграла от не-
прерывной функции к нахождению первообразной, то все основные методы
вычисления неопределенных интегралов переносятся и на задачу вычисления

Страницы