Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 26 стр.

                                                                                             26

        НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
       Определенные интегралы имеют многочисленные приложения в самых
разнообразных задачах. Здесь мы ограничимся рассмотрением некоторых гео-
метрических приложений.
       1. Вычисление площадей.
                      а) Площадь криволинейной трапеции
       Площадь S криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком
функции y = f (x) , снизу – отрезком [a, b] оси x , а по бокам – прямыми x = a и
x = b , вычисляется по формуле
                                         b
                                    S = ∫ f ( x) dx .                                 (19)
                                         a
Обоснование этой формулы было дано ранее при введении понятия определен-
 ного интеграла. А именно, было показано, что интегральная сумма σ f пред-
 ставляет собой приближенное значение площади криволинейной трапеции, и
это приближенное значение тем точнее, чем «мельче» разбиение отрезка [a, b] .
 Точное значение площади S получается как предел интегральных сумм при
  d → 0 , если он, конечно, существует. Но указанный предел является ни чем
                                                                      b
                  иным как определенным интегралом                    ∫ f ( x) dx .
                                                                      a
     Равенство (19) легко модифицировать для вычисления площадей плоских
                  фигур самых различных конфигураций.
     Если верхняя граница криволинейной трапеции задана уравнениями в па-
раметрической форме x = ϕ (t ) , y = ψ (t ) , α ≤ t ≤ β , причем ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b ,
     то произведем в формуле (19) замену переменной, полагая x = ϕ (t ) ,
                         dx = ϕ ′(t ) dt . Тогда получим
                                        β
                                   S = ∫ψ (t ) ϕ ′(t ) dt .
                                        α
      Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом x = a cos t ,
                          y = b sin t ( 0 ≤ t ≤ 2π ).

                                             y
                                                 b
                                                              a
                                             0                    x



                                 Рис. 3.
Δ Эллипс симметричен относительно осей координат, поэтому достаточно вы-
 числить площадь части фигуры, находящейся в I четверти (рис. 3). Следова-
                     тельно, искомая площадь равна