Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 27 стр.

                                                                                                       27

                  0                              π 2                     π 2
           S =4   ∫   b sin t (a cos t )′ dt = 4ab   ∫   sin 2 t dt = 2ab ∫ (1 − cos 2t ) dt =
                π 2                                  0                      0
                                                                                                 π 2
                                                           ⎛ 1         ⎞
                                                     = 2ab⎜ t − sin 2t ⎟ = π ab .
                                                           ⎝ 2         ⎠0
 В частности, если полуоси эллипса равны ( a = b = R ), то получаем известную
                          формулу площади круга πR 2 . ▲
                        б) Площадь криволинейного сектора
            Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (ϕ ) ,
   α ≤ ϕ ≤ β , причем функция ρ (ϕ ) непрерывна и неотрицательна на отрезке
[α , β ] . Плоскую фигуру, ограниченную дугой AB этой кривой и двумя лучами,
составляющими с полярной осью углы α и β ( ϕ = α , ϕ = β ), называют криво-
                            линейным сектором (рис. 4).

                                                           Δϕ i

                               B
                                                                        A




                                     α      β
                           0                                                    C
                                              Рис. 4.
                                  Площадь криволинейного сектора
                                             1β
                                        S = ∫ ρ 2 (ϕ ) dϕ .                        (20)
                                              2α
  Δ Разобьем произвольно отрезок [α , β ] точками α = ϕ 0 < ϕ 1 < ... < ϕ n = β
 на n частей, выберем на каждом частичном отрезке [ϕ i ,ϕ i +1 ] произвольно точ-
 ку ξ i ( ϕ i ≤ ξ i ≤ ϕ i + 1 ) и построим круговые секторы с радиусами ρ (ξ i ) . В ре-
зультате получим веерообразную фигуру, площадь которой приближенно равна
                             площади S криволинейного сектора:
                                          1 n−1
                                      S ≈ ∑ ρ 2 (ξ i ) Δ ϕ i ,
                                          2 i =0
где Δ ϕ i = ϕ i +1 − ϕ i . С другой стороны, площадь веерообразной фигуры является
интегральной суммой для интеграла (20). Так как функция ρ 2 (ϕ ) непрерывна
на отрезке [α , β ] , то предел этой суммы при d = max {Δ ϕ i } → 0 существует и
                                                                   1≤ i ≤ n
равен интегралу (20). Следовательно, и площадь криволинейного сектора чис-
               ленно равна этому определенному интегралу: