Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

29
∑
−
=
→
Δ=
1
0
0
lim
n
i
i
d
lL
, (22)
если, конечно, этот предел существует.
Рис. 6.
По теореме Пифагора имеем
2
1
2
1
2
)()()(
iiiii
yyxxl −+−=Δ
++
. Но в силу
теоремы Лагранжа получим
))(()()(
111 iiiiiii
xxfxfxfyy
−
′
=
−
=
−
+++
ξ
,
где ),(
1+
∈
iii
xx
ξ
. Тогда
iiiiii
xxxxfl −=ΔΔ
′
+=Δ
+1
2
,))((1
ξ
.
Если подставить эти равенства в правую часть соотношения (21), то получим
интегральную сумму функции
()
2
)(1 xf
′
+
на отрезке ],[
ba . Функция
()
2
)(1 xf
′
+
непрерывна на отрезке
],[
ba
, поэтому предел (22) этой суммы
существует и равен определенному интегралу
()
dxxfL
b
a
∫
′
+=
2
)(1
. (23)
Пример
. Вычислить длину полукубической параболы
2
3
xy =
, если
50
≤
≤
x
.
Δ
Общее уравнение полукубической параболы имеет вид
0
232
=− yxa
(рис.
7). В данном случае нужно найти длину дуги верхней ветви. Из уравнения
2
3
xy =
находим:
2
1
2
3
xy =
′
. Следовательно, по формуле (23) получим
27
335
4
9
1
27
8
4
9
1)(1
5
0
23
5
0
5
0
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=+=
′
+=
∫∫
x
dx
x
dxyL
. ▲
y
x
0
0
xa =
1
x
2
x
1−n
xbx
n
=
0
M
1
M
2
M
1−n
M
n
M
                                                                                                    29

                                                  n −1
                                        L = lim
                                             d →0
                                                  ∑Δli ,                                     (22)
                                                  i =0
                    если, конечно, этот предел существует.


                    y                                                       Mn


                              M1             M2
                                                             M n−1


                        M0

                                                                                   x
                    0 a = x0       x1     x2                     xn−1       xn = b
                                         Рис. 6.
     По теореме Пифагора имеем (Δ l i ) 2 = ( xi +1 − xi ) 2 + ( yi +1 − yi ) 2 . Но в силу
                         теоремы Лагранжа получим
                yi +1 − yi = f ( xi +1 ) − f ( xi ) = f ′(ξ i )( xi +1 − xi ) ,
                            где ξ i ∈ ( xi , xi +1 ) . Тогда
                 Δ l i = 1 + ( f ′(ξ i )) 2 Δ xi , Δ xi = xi +1 − xi .
Если подставить эти равенства в правую часть соотношения (21), то получим
   интегральную сумму функции 1 + ( f ′( x) )2 на отрезке [a, b] . Функция
  1 + ( f ′( x) ) непрерывна на отрезке [a, b] , поэтому предел (22) этой суммы
                 2

                   существует и равен определенному интегралу
                                         b
                                   L = ∫ 1 + ( f ′( x) ) dx .
                                                         2
                                                                                              (23)
                                         a
                                                                                         3
        Пример. Вычислить длину полукубической параболы y = x 2 , если
                                   0 ≤ x ≤ 5.
Δ Общее уравнение полукубической параболы имеет вид a 2 x 3 − y 2 = 0 (рис.
 7). В данном случае нужно найти длину дуги верхней ветви. Из уравнения
         3                3 1
    y = x 2 находим: y ′ = x 2 . Следовательно, по формуле (23) получим
                          2
               5                   5                                 32 5
                                           9x     8 ⎛ 9x ⎞                      335
          L = ∫ 1 + ( y ′) dx = ∫
                          2
                                        1+    dx = ⎜1 + ⎟                   =       .▲
               0                   0        4     27 ⎝ 4⎠                        27
                                                                        0

Страницы