ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
31
С другой стороны, правая часть равенства является интегральной суммой для
функции )(
2
xf
π
по отрезку ],[ ba . Так как функция )(
2
xf непрерывна на
],[
ba
, то существует конечный предел этой суммы при
0)(max
1
10
→−
=
+
−≤≤
kk
nk
xxd
:
∫
∑
=Δ=
−
=
→
b
a
n
k
kk
d
dxxfxfV )()(lim
2
1
0
2
0
πξπ
.
Пример
. Вычислить объем тора. (Тором называется тело, получающееся
при вращении круга радиуса
a вокруг оси, лежащей в его плоскости на рас-
стоянии
b от центра круга ( ab ≥ ). Форму тора имеет, например, баранка.)
Δ
Пусть круг вращается вокруг оси
x
O
(рис. 9).
Рис. 9.
Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от
вращения криволинейных трапеций
A
BCD
E
и
A
BLD
E
вокруг оси
x
.
Уравнение окружности с центром в точке );0(
b и радиуса
a
имеет вид
222
)( abyx =−+
.
При этом уравнение верхней полуокружности
BCD
22
1
)( xabxyy −+==
,
а уравнение нижней полуокружности
BLD
22
2
)( xabxyy −−==
.
Используя формулу для объема тела вращения, получаем для объема
V тора
выражение
(
)
=−−−−+=−=
∫∫∫
dxxabxabdxxydxxyV
aaa
0
222222
0
2
2
0
2
1
)()(2)(2)(2
πππ
badxxab
a
tax
22
0
sin
22
28
ππ
∫
=
=−=
. ▲
При выводе всех формул основное внимание надо обратить на метод ре-
шения: подсчитываемую величину разбиваем на части, каждую часть подсчи-
b
a
a−
0
y
x
A
B
C
D
E
L
31
С другой стороны, правая часть равенства является интегральной суммой для
функции π f 2 ( x) по отрезку [a, b] . Так как функция f 2 ( x) непрерывна на
[a, b] , то существует конечный предел этой суммы при d = max ( xk +1 − xk ) → 0 :
0 ≤ k ≤ n −1
n −1 b
V = lim ∑ π f 2 (ξ k )Δ xk = π ∫ f 2 ( x) dx .
d → 0 k =0
a
Пример. Вычислить объем тора. (Тором называется тело, получающееся
при вращении круга радиуса a вокруг оси, лежащей в его плоскости на рас-
стоянии b от центра круга ( b ≥ a ). Форму тора имеет, например, баранка.)
Δ Пусть круг вращается вокруг оси O x (рис. 9).
y
C
B b D
L
A E
−a 0 a x
Рис. 9.
Объем тора можно представить как разность объемов тел, полученных от
вращения криволинейных трапеций ABCDE и ABLDE вокруг оси x .
Уравнение окружности с центром в точке (0 ; b) и радиуса a имеет вид
x 2 + ( y − b) 2 = a 2 .
При этом уравнение верхней полуокружности BCD
y = y1 ( x) = b + a 2 − x 2 ,
а уравнение нижней полуокружности BLD
y = y 2 ( x) = b − a 2 − x 2 .
Используя формулу для объема тела вращения, получаем для объема V тора
выражение
( )
a a a
V = 2π ∫ y12 ( x) dx − 2π ∫ y 22 ( x) dx = 2π ∫ (b + a 2 − x 2 ) 2 − (b − a 2 − x 2 ) 2 dx =
0 0 0
a x = a sin t
= 8π b ∫ a 2 − x 2 dx = 2π 2 a 2 b . ▲
0
При выводе всех формул основное внимание надо обратить на метод ре-
шения: подсчитываемую величину разбиваем на части, каждую часть подсчи-
