ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
30
Рис. 7.
3. Объем тела вращения. Пусть функция )(
x
f
непрерывна и неотрица-
тельна на отрезке ],[ ba . Найдем объем тела, образованного вращением криво-
линейной трапеции, ограниченной кривой
)(
x
f
y
=
и прямыми
ay =
,
b
y
=
,
0
=
x
, вокруг оси
x
(рис. 8).
Рис. 8.
Разобьем отрезок ],[ ba на n частей точками bxxxxa
nn
=<<<
<
=
−110
... .
На каждом частичном отрезке
],[
1+kk
xx
выберем произвольную точку
k
ξ
и по-
строим прямоугольник высотой
)(
k
f
ξ
. При вращении вокруг оси
Ox
каждый
прямоугольник опишет цилиндр радиуса )(
k
f
ξ
и высоты
kkk
xxx −=
Δ
+1
. Ис-
комый объем V приближенно равен сумме объемов таких цилиндров (и это ра-
венство тем точнее, чем «мельче» разбиение отрезка
],[ ba
):
∑
−
=
Δ≈
1
0
2
)(
n
k
kk
xfV
ξπ
.
y
x05
2
3
xy =
a
b
k
x
Δ
k
x
y
x
z
0
30
y
3
y=x 2
0 5 x
Рис. 7.
3. Объем тела вращения. Пусть функция f (x) непрерывна и неотрица-
тельна на отрезке [a, b] . Найдем объем тела, образованного вращением криво-
линейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x) и прямыми y = a , y = b ,
x = 0 , вокруг оси x (рис. 8).
y
Δ xk
0 a xk b x
z
Рис. 8.
Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b .
На каждом частичном отрезке [ xk , xk +1 ] выберем произвольную точку ξ k и по-
строим прямоугольник высотой f (ξ k ) . При вращении вокруг оси Ox каждый
прямоугольник опишет цилиндр радиуса f (ξ k ) и высоты Δ xk = xk +1 − xk . Ис-
комый объем V приближенно равен сумме объемов таких цилиндров (и это ра-
венство тем точнее, чем «мельче» разбиение отрезка [a, b] ):
n −1
V ≈ ∑ π f 2 (ξ k )Δ xk .
k =0
