ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
32
тываем с некоторой погрешностью – получается интегральная сумма (в разо-
бранных примерах – для непрерывной функции, и потому существуют соответ-
ствующие интегралы), а затем переходим к пределу, за счет чего получается
точная формула.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Понятие определенного интеграла вводилось и изучалось, во-первых, в
предположении, что интегрируемая функция должна быть ограниченной на
от-
резке интегрирования, во-вторых, сам отрезок должен быть конечным. Если хо-
тя бы одно из этих необходимых требований не выполнено, то определенный
интеграл не существует.
Оказывается, существуют классы функций, для которых, хотя и наруше-
ны указанные требования, можно говорить о существовании определенного ин-
теграла. Естественно, при этом определенный интеграл
понимается не в обыч-
ном смысле, а рассматривается некоторое его обобщение. Укажем два основ-
ных класса таких функций.
1. Несобственные интегралы первого рода. Пусть
),[
∞
∈
aC
f
. Тогда
],[
baC
f
∈
и, следовательно,
],[
baL
f
∈
для
ab >
∀
.
Определение
. Несобственным интегралом 1-го рода функции )(
x
f
на
промежутке ),[
∞
a называют предел
∫∫
∞
∞→
=
a
b
a
b
dxxfdxxf )(lim)(
.
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Пример
. Рассмотрим несобственный интеграл 1-го рода функции
α
−
= xxf )( на промежутке ),1[
∞
. При
1
≠
α
имеем:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+−
==
−
∞→
+−
∞→∞→
∞
∫∫
1
1
1
11
1
1lim
1
1
1
limlim
α
α
αα
αα
b
x
x
dx
x
dx
b
b
b
b
b
.
Отсюда следует, что при
1
<
α
несобственный интеграл расходится, а при
1>
α
он сходится, причем
∫
∞
−
=
1
1
1
α
α
x
dx
,
1>
α
.
Легко убедиться, что рассматриваемый несобственный интеграл расходится и
при 1
=
α
(проверьте!).
Несобственный интеграл вида
∫
∞−
a
dxxf )(
вводится аналогичным образом.
Интеграл
∫
∞
∞−
dxxf )( определяется с использованием свойства аддитивности оп-
ределенного интеграла:
32
тываем с некоторой погрешностью – получается интегральная сумма (в разо-
бранных примерах – для непрерывной функции, и потому существуют соответ-
ствующие интегралы), а затем переходим к пределу, за счет чего получается
точная формула.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Понятие определенного интеграла вводилось и изучалось, во-первых, в
предположении, что интегрируемая функция должна быть ограниченной на от-
резке интегрирования, во-вторых, сам отрезок должен быть конечным. Если хо-
тя бы одно из этих необходимых требований не выполнено, то определенный
интеграл не существует.
Оказывается, существуют классы функций, для которых, хотя и наруше-
ны указанные требования, можно говорить о существовании определенного ин-
теграла. Естественно, при этом определенный интеграл понимается не в обыч-
ном смысле, а рассматривается некоторое его обобщение. Укажем два основ-
ных класса таких функций.
1. Несобственные интегралы первого рода. Пусть f ∈ C [a, ∞) . Тогда
f ∈ C [a, b] и, следовательно, f ∈ L [a, b] для ∀ b > a .
Определение. Несобственным интегралом 1-го рода функции f ( x) на
промежутке [a, ∞) называют предел
∞ b
∫ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx .
b→∞
a a
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют
сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Пример. Рассмотрим несобственный интеграл 1-го рода функции
f ( x) = x −α на промежутке [1, ∞) . При α ≠ 1 имеем:
b
∞
dx b
dx x −α +1 1 ⎛ 1 ⎞
∫ xα = blim ∫
→∞ x α
= lim
b→∞ − α + 1
= lim ⎜1 − α −1 ⎟ .
α − 1 b→∞ ⎝ b ⎠
1 1 1
Отсюда следует, что при α < 1 несобственный интеграл расходится, а при α > 1
он сходится, причем
∞
dx 1
∫ xα = α − 1 , α > 1 .
1
Легко убедиться, что рассматриваемый несобственный интеграл расходится и
при α = 1 (проверьте!).
a
Несобственный интеграл вида ∫ f ( x) dx вводится аналогичным образом.
−∞
∞
Интеграл ∫ f ( x) dx определяется с использованием свойства аддитивности оп-
−∞
ределенного интеграла:
