Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 33 стр.

                                                                                               33

                                  ∞             ∞
                                          ⎛a       ⎞
                          ∫ f  ( x ) dx = ⎜
                                          ⎜∫  + ∫ ⎟⎟ f ( x) dx .
                         −∞               ⎝ −∞ a ⎠
      2. Несобственные интегралы второго рода. Пусть f ∈ C [a, b) , где a и b –
 некоторые числа, причем f (x) → ∞ при x → b (функция неограничена). Ясно,
                               что тогда f ∉ L [a, b] .
         Возьмем ∀ ξ ∈ (a, b) . Тогда f ∈ C [a,ξ ] и, следовательно, f ∈ L [a,ξ ] .
       Определение. Несобственным интегралом 2-го рода функции f (x) на
                     промежутке [a, b] называют предел
                                      b                     ξ

                                      ∫ f ( x) dx = ξ lim
                                                      → b −0
                                                             ∫ f ( x) dx .
                                      a                     a
Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл называют
             сходящимся, в противном случае – расходящимся.
     Так же, как и выше, определяют интеграл от функции, неограниченной в
                            окрестности точки x = a .
      Пример. Исследовать на сходимость несобственный интеграл 2-го рода
  функции f ( x) = x −α , α > 0 , на промежутке [0,1] . При α > 0 , α ≠ 1 имеем:
                                                                1
           1
                −α
                              1
                                  −α        x −α +1       1          ⎛   1 ⎞
           ∫ x dx =  lim   ∫ x dx =  lim              =        lim ⎜⎜1 − α −1 ⎟⎟ .
                    ξ → +0          ξ → +0 − α + 1      1 − α ξ → +0 ⎝ ξ ⎠
           0               ξ                        ξ
 Из полученных соотношений следует, что если α > 1 , то несобственный инте-
            грал расходится; если же α < 1, то сходится, причем
                                          1
                                    1         dx
                                       , α < 1.
                                          ∫ xα     =
                            0     1−α
Рассматриваемый несобственный интеграл расходится и при α = 1 (проверьте!).
           Наконец, если f (x) → ∞ при x → c , где a < c < b , то полагают
                                                                 ξ
           b
                           ⎛c    b
                                          ⎞                                        b

           ∫               ⎜
               f ( x) dx = ⎜ ∫ + ∫        ⎟⎟ f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx + lim ∫ f ( x) dx .
                                                        ξ → c −0          η → c +0
           a               ⎝a    c         ⎠                     a                 η