Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 28 стр.

                                                                                          28


                    1       n −1              1β
                      lim ∑ ρ 2 (ξ i ) Δ ϕ i = ∫ ρ 2 (ϕ ) dϕ . ▲
                     S=
                    2 d → 0 i =0              2α
      Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной полярной осью и
  первым витком спирали Архимеда: ρ = a ϕ , где a – положительное число.
                                        Δ




                                           O               C
                                  A


                                           B




                                Рис. 5.
При изменении ϕ от 0 до 2π полярный радиус описывает кривую, ограничи-
вающую криволинейный сектор OABC (рис. 5). Поэтому по формуле (20) име-
                                  ем
                                                 2π
                          a 2 2π 2      a2 ϕ 3            a 2 8π 3 4 3 2
               S OABC   =
                           2 0
                               ∫ ϕ dϕ = 2 3             =
                                                           2 3
                                                                  = π a .▲
                                                                   3
                                                 0
      Расстояние от точки C до полюса равно ρ = 2π a . Поэтому круг радиуса
                                                  4
OC имеет площадь π ⋅ OC 2 = 4π 3 a 2 = 3 ⋅ π 3 a 2 = 3S OABC , т.е. площадь фигуры,
                                                  3
 ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда, равна 1 / 3
площади круга с радиусом, равным наибольшему из полярных радиусов витка.
                        К этому выводу пришел еще Архимед.
       2. Длина дуги кривой. Пусть требуется определить длину дуги AB кри-
  вой y = f ( x) , a ≤ x ≤ b , где f ∈ C 1 [a, b] . Разобьем отрезок [a, b] на n частей
  точками a = x0 < x1 < ... < xn−1 < xn = b . Тогда длина L дуги AB приближенно
                равна длине ломаной, вписанной в данную кривую:
                                                 n −1
                                          L ≈ ∑Δli ,                                   (21)
                                                 i =0
где Δ li – длина хорды (одного звена ломаной) M i M i +1 (рис. 6). Здесь точка M i
 имеет координаты M i ( xi , f ( xi )) . Естественно длиной L дуги AB считать пре-
дел длин ломаных, вписанных в эту кривую, при d → 0 , где d = max ( xi +1 − xi ) :
                                                                        0 ≤ i ≤ n −1