Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 25 стр.

                                                                                             25

определенных интегралов. Сформулируем эти методы с учетом специфики оп-
ределенных интегралов.
       Теорема 11 (о замене переменной). Пусть:
1) f ( x) ∈ C [a, b] , ϕ (t ) ∈ C 1 [α , β ] ;
2) a ≤ ϕ (t ) ≤ β для ∀ t ∈ [α , β ] ;
3) ϕ (α ) = a , ϕ ( β ) = b .
       Тогда
                            b             β
                            ∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) dt .
                            a             α
       Для доказательства этого равенства достаточно применить к обеим его
 частям формулу Ньютона-Лейбница, учитывая при этом, что если F (x) будет
 первообразной для f (x) , то функция Φ (t ) = F (ϕ (t )) будет первообразной для
                                  f (ϕ (t ))ϕ ′(t ) .
                 1                x = sin t        π /2
                                                                1π / 2
         Пример. ∫ 1 − x 2 dx =                 = ∫ cos 2 t dt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =
                  0             dx = cos t dt        0          2 0
                                                                         π
                                                         1⎛ 1          ⎞ 2 1 ⎛π  ⎞ π
                                                        = ⎜ t + sin 2t ⎟ = ⎜ + 0 ⎟ = .
                                                         2⎝ 2          ⎠0  2⎝ 2  ⎠ 4
        Теорема 12 (об интегрировании по частям). Пусть u ( x), v( x) ∈ C 1[a, b] .
                                   Тогда
                                 b                  b
                                               b
                                 ∫ u dv = uv a − ∫ v du .
                                 a                  a
       Справедливость этой формулы следует из равенства (uv)′ = u ′v + uv′ и
применения формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от функции u ′v + uv′ , для
                которой первообразной будет функция uv .
                      2
                                  u = x, dv = e x dx      x 2
                                                                2
             Пример. ∫ x e x dx =                  x
                                                     = xe     − ∫ e x dx =
                      0           du = dx, v = e            0
                                                                0
                                                                     2
                                                    = 2e 2 − 0 − e x = 2e 2 − e 2 + 1 = e 2 + 1.
                                                                     0


      Равенство (19) легко модифицировать для вычисления площадей плоских
                   фигур самых различных конфигураций.