Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИСОиП ДГТУ | Шахты

Составители: 

Рубрика: 

23
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Если ],[ baL
f
∈
, то )(
x
f
интегри-
руема по любой части этого отрезка, и поэтому для ],[ ba
x
∈
∀
существует ин-
теграл
∫
=Φ
x
a
dttfx )()(
,
называемый интегралом с переменным верхним пределом.
Значение функции )(
x
Φ раскрывает следующая теорема.
Теорема 9
. Если ],[ baC
f
∈ , то функция
∫
=Φ
x
a
dttfx )()(
дифференцируе-
ма в любой внутренней точке
x
этого отрезка (b
x
a << ), причем
)()( xfx
=Φ
′
.
Δ
Зафиксируем любое значение
),( ba
x
∈
и придадим ему приращение
0
≠Δ
x
столь малое, чтобы точка
x
x
Δ
+
лежала внутри отрезка
],[ ba
, т.е.
b
x
x
a ≤Δ+≤ . Тогда
∫
Δ+
=Δ+Φ
xx
a
dttfxx )()(. Найдем производную функции
)(
x
Φ . Имеем
∫∫
Δ+
=−=Φ−Δ+Φ=ΦΔ
xx
a
x
a
dttfdttfxxx )()()()(
∫∫∫∫
Δ+Δ+
=−+=
xx
x
x
a
x
a
xx
x
dttfdttfdttfdttf )()()()(.
Теперь к полученному интегралу применим теорему о среднем значении:
∫
Δ+
Δ==ΦΔ
xx
x
xcfdttf )()(
,
где
],[
x
x
x
c Δ+∈
, если
0
>
Δ
x
(или
],[
x
x
x
c
Δ
+
∈
, если
0
<Δ
x
). Отсюда
)(cf
x
=
Δ
ΦΔ
. Так как функция )(
x
f
непрерывна на ],[ ba и
x
c→ при 0→Δ
x
, то
)()(lim
0
xfcf
x
=
→Δ
.
Поэтому
)()(limlim)(
0
xfcf
x
x
xcx
==
Δ
Φ
Δ
=Φ
′
→→Δ
. ▲
Замечание
. Нами установлено, что любая непрерывная на отрезке
],[ ba
функция
)(
x
f
имеет на этом отрезке первообразную, а именно, функцию
∫
=Φ
x
a
dttfx )()(
. Поскольку всякая другая первообразная для функции
)(
x
f
мо-
жет отличаться от )(
x
Φ
только на постоянную, то установлена связь между не-
определенным и определенным интегралами в виде 
                                                                                                                            23

      Рассмотрим этот вопрос подробнее. Если f ∈ L [a, b] , то f (x) интегри-
руема по любой части этого отрезка, и поэтому для ∀ x ∈ [a, b] существует ин-
теграл
                                                             x
                                            Φ ( x) = ∫ f (t ) dt ,
                                                             a
называемый интегралом с переменным верхним пределом.
     Значение функции Φ (x) раскрывает следующая теорема.
                                                                                     x
      Теорема 9. Если f ∈ C [a, b] , то функция Φ ( x) = ∫ f (t ) dt дифференцируе-
                                                                                     a
ма в любой внутренней точке                              x           этого отрезка ( a < x < b ), причем
Φ′( x) = f ( x) .
Δ  Зафиксируем любое значение x ∈ (a, b) и придадим ему приращение Δ x ≠ 0
столь малое, чтобы точка x + Δ x лежала внутри отрезка [a, b] , т.е.
                                                   x+Δ x
a ≤ x + Δ x ≤ b . Тогда Φ ( x + Δ x) =               ∫       f (t ) dt . Найдем производную функции
                                                     a
Φ (x) . Имеем
                                x+Δ x                    x
Δ Φ = Φ ( x + Δ x) − Φ ( x) =    ∫      f (t ) dt − ∫ f (t ) dt =
                                 a                       a
                                                                 x          x+Δ x            x                x+Δ x
                                                         = ∫ f (t ) dt +     ∫    f (t ) dt − ∫ f (t ) dt =    ∫    f (t ) dt .
                                                                 a            x              a                  x
      Теперь к полученному интегралу применим теорему о среднем значении:
                                             x+Δ x
                                     ΔΦ =     ∫     f (t ) dt = f (c) Δ x ,
                                               x
где c ∈ [ x, x + Δ x] , если Δ x > 0 (или c ∈ [ x + Δ x, x] , если Δ x < 0 ). Отсюда
ΔΦ
    = f (c) . Так как функция f (x) непрерывна на [a, b] и c → x при Δ x → 0 , то
 Δx
                                    lim f (c) = f ( x) .
                                           Δ x →0
Поэтому
                                ΔΦ
                                    = lim f (c) = f ( x) . ▲
                         Φ′( x) = lim
                         Δ x →0 Δ x   c→ x

     Замечание. Нами установлено, что любая непрерывная на отрезке [a, b]
функция f (x) имеет на этом отрезке первообразную, а именно, функцию
        x
Φ ( x) = ∫ f (t ) dt . Поскольку всякая другая первообразная для функции f (x) мо-
        a
жет отличаться от Φ (x) только на постоянную, то установлена связь между не-
определенным и определенным интегралами в виде

Страницы