Интегральное исчисление функций одной переменной. Саакян Г.Р. - 19 стр.

                                                                                        19

                                         n −1
                   σ f = f (ξ i ) Δ xi + ∑ f (ξ k ) Δ xk = f (ξ i ) Δ xi + S .
                                         k =0
                                         k ≠i
Числа ξ k ∈ [ xk , xk +1 ] во втором слагаемом выберем произвольным образом.
         Зададим произвольное число M > 0 и возьмем такую точку ξ i ∈ [ xi , xi +1 ] ,
чтобы
                                                              | S | +M
                                               | f (ξ i ) | ≥          .
                                                                 Δ xi
Выбрать такую точку ξ i можно всегда в силу неограниченности функции f (x)
на [ xi , xi +1 ] . Тогда | f (ξ i ) | Δ xi ≥ | S | + M , и значит,
                         | σ f | = | f (ξ i ) Δ xi + S | ≥ | f (ξ i ) Δ xi | − | S | ≥ M ,
т.е. интегральная сумма σ f по модулю больше любого наперед заданного чис-
ла. Поэтому интегральная сумма σ f не имеет конечного предела при d → 0 , а
это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не суще-
ствует. ▲
      Замечание. Обратная теорема неверна, т.е. условие ограниченности
функции является необходимым, но не достаточным условием интегрируемо-
сти функции. Докажем это утверждение.
      Пример. Рассмотрим функцию Дирихле на отрезке [0, 1] :
                              ⎧1, если x − рациональное число,
                     f ( x) = ⎨
                              ⎩0, если x − иррациональное число.
Функция Дирихле, очевидно, ограничена: | f ( x) | ≤ 1 . Однако она неинтегрируе-
ма на [0, 1] . Покажем это. Если при любом разбиении отрезка [0, 1] выбрать ра-
циональные ξ k ( xk ≤ ξ k ≤ xk +1 ), то получим
                                  n −1               n −1
                           σ f = ∑ f (ξ k )Δ xk = ∑ 1 ⋅ Δ xk = 1,
                                  k =0              k =0
а если взять числа ξ k иррациональными, то получим
                                 n −1               n −1
                          σ f = ∑ f (ξ k )Δ xk = ∑ 0 ⋅ Δ xk = 0 .
                                 k =0               k =0
Таким образом, при разбиении отрезка [0, 1] на сколь угодно малые отрезки ин-
тегральная сумма σ f может принимать как значение, равное 0, так и значение,
равное 1 . Поэтому интегральная сумма σ f при d → 0 предела не имеет.
      Теорема 6 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функ-
ция f (x) ограничена на отрезке [a, b] и имеет на нем конечное число точек
разрыва, то f ( x) ∈ L [a, b] .
                                (Без доказательства)
      Следствие. Если f ( x) ∈ C[a, b] , то f ( x) ∈ L [a, b] (т.е. имеет место
включение C [a, b] ⊂ L [a, b] .